Олимпиада НГУ по математике 2018

[bot]

ОЛИМПИАДА НГУ 2018 г. (21 октября, завершена)

1 курс

1. Имеется две корзины, содержащие $m$ и $n$ камней. Вася и Петя играют в следующую игру.
Каждый игрок в свою очередь должен выбросить из любой корзины любое положительное число камней и столько же камней переложить из неё в другую корзину.
Игрок, который не сможет сделать хода, проигрывает. Вася начинает. Кто выиграет в зависимости от $m$ и $n$?

2. Пусть $ a,b,c>0.$ Докажите неравенство $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 2\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right)$

3. Можно ли квадрат $2018\times2018$ разрезать на прямоугольники $1\times4?$

4. Найдите все действительные решения уравнения $2x^2=(x-1)\lfloor x\rfloor$, где $ \lfloor x \rfloor $ означает целую часть $ x, $ то есть наибольшее целое, не превосходящее $ x. $


5. В треугольник с целочисленными высотами вписана окружность радиуса 1. Какова может быть его площадь?

2-4 курсы

1. В каком случае полином $1+x^n+x^{2n}+\ldots+x^{(m-1)n}$ делится без остатка на полином $1+x+x^{2}+\ldots+x^{m-1}?$

2. Пусть $ f_1(x)=3x-4x^3,\,\, f_n(x)=f_1(f_{n-1}(x))$. Вычислите $\int\limits_{-1}^1f_n^2(x)\,dx$ и его предел при $n\to \infty.$

3. Найдите все действительные решения уравнения $6^x+3^x+1=2^x+2^{2x+1}.$

4. Пусть матрицы $A$ и $B$ второго порядка перестановочны и имеют характеристические многочлены $\lambda^2-3\lambda+2$ и $\lambda^2-1$ соответственно. Докажите, что хотя бы одна из матриц $A+B$ или $A-B$ вырождена.

5. Исследуйте сходимость последовательности $x_0=2018, \, x_{n+1}=f(x_n)$, где $f(x)=\frac{2}{x}-1$.

PS. Это был подготовительный тур Сибирской математической олимпиады, которая состоится 11 ноября.

[kotenok gav]

bot в сообщении #1348029 писал(а):

3. Можно ли квадрат $2018\times2018$ разрезать на прямоугольники $1\times4?$

Какая-нибудь ракраска?

-- 21 окт 2018, 17:18 --

bot в сообщении #1348029 писал(а):

1. В каком случае полином $1+x^n+x^{2n}+\ldots+x^{(m-1)n}$ делится без остатка на полином $1+x+x^{2}+\ldots+x^{m-1}?$

В любом случае.

-- 21 окт 2018, 17:20 --

bot в сообщении #1348029 писал(а):

Вычислите $\int\limits_{-1}^1f_n^2(x)\,dx$ и его предел при $n\to \infty.$

Надо смотреть на первые интегралы и далее доказывать по индукции?

-- 21 окт 2018, 17:24 --

bot в сообщении #1348029 писал(а):

5. Исследуйте сходимость последовательности $x_0=2018, \, x_{n+1}=f(x_n)$, где $f(x)=\frac{2}{x}-1$.

Кажется, там где-то 0 возникнет.

[SomePupil]

(3)

bot в сообщении #1348029 писал(а):

3. Можно ли квадрат $2018\times2018$ разрезать на прямоугольники $1\times4?$

Нет.
Покрасим первый столбец в первый цвет, второй $-$ во второй, третий $-$ в третий, четвертый $-$ в четвертый, пятый $-$ снова в первый и т. д. Получим разницу между количеством клеток первого и третьего цветов $2018,$ т. е. сравнимую с $2$ по модулю $4$. Добавление прямоугольников $1 \times 4$ не меняет остаток разницы между количеством покрытых клеток первого и третьего цветов по модулю $4$.

[thething]

bot в сообщении #1348029 писал(а):

5. Исследуйте сходимость последовательности $x_0=2018, \, x_{n+1}=f(x_n)$, где $f(x)=\frac{2}{x}-1$.

Из теоремы Лагранжа следует, что на полуинтервале $[-3,-\sqrt{2})$ отображение $f:[-3,-\sqrt{2})\to\left(-\sqrt{2}-1,-\frac{5}{3}\right]$ -- сжимающее. Поскольку $x_4\in(-3,-\sqrt{2})$ (если не обсчитался), то, переходя к пределу, получим ответ $-2$. Остаются мелочи типа отступить от конца $-\sqrt{2}$, чтобы обеспечить полноту.

[mihiv]

$\frac 1{h_1}+\frac 1{h_2}+\frac 1{h_3}=1, h_i$- высоты треугольника. Отсюда возможные значения высот: (3,3,3), (2,3,6) и (2,4,4).

[bot]

kotenok gav в сообщении #1348031 писал(а):

Кажется, там где-то 0 возникнет.

Вопрос о возникании возникнуть определённо должен.

[Shadow]

bot в сообщении #1348029 писал(а):

1. Имеется две корзины, содержащие $m$ и $n$ камней. Вася и Петя играют в следующую игру.
Каждый игрок в свою очередь должен выбросить из любой корзины любое положительное число камней и столько же камней переложить из неё в другую корзину.
Игрок, который не сможет сделать хода, проигрывает. Вася начинает. Кто выиграет в зависимости от $m$ и $n$?

Если $|m-n|$>1 Вася выигрывает (если не тупой), иначе проигрывает.

bot в сообщении #1348029 писал(а):

2. Пусть $ a,b,c>0.$ Докажите неравенство $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 2\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right)$

$\dfrac 1 a+\dfrac 1 b -\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\ge 0$ Аналогично для $\dfrac 1 b+\dfrac 1 c$ и $\dfrac 1 c+\dfrac 1 a$

bot в сообщении #1348029 писал(а):

4. Найдите все действительные решения уравнения $2x^2=(x-1)\lfloor x\rfloor$

Уравнение $2x^2-kx+k=0$, где $k=\lfloor x\rfloor\in \mathbb{Z}$ должо иметь корней в интервале $[k;k+1)$

Решения: $0,-1,-\dfrac{1+\sqrt 5}{2},-\dfrac{3+\sqrt{33}}{4}$

-- 21.10.2018, 15:42 --

Shadow в сообщении #1348112 писал(а):

Если $|m-n|$>1 Вася выигрывает (если не тупой), иначе проигрывает.

Хм, при $(2,1)$ Вася выигрывает, так что поспешил с выводами.

upd, Глупости, не выигрывает. Затупил.

[iou]

bot в сообщении #1348029 писал(а):

3. Найдите все действительные решения уравнения $6^x+3^x+1=2^x+2^{2x+1}.$

$a = 2^x, ~ b = 3^x,$ тогда исходное уравнение запишется в виде: $2a^2 + a(1-b) - (b+1) = 0,$ решим относительно $a.$ Получим $D = (b+3)^2,$ тогда корни $a=\frac{b+1}{2}, a = -1.$ Второе решение отбрасываем из положительности и получаем $2^{x+1} = 3^x + 1.$ Ясно, что нет корней на $(-\infty, 0) \cup (1, \infty),$ чтобы понять, что нет корней на интервале $(0, 1)$ можно исследовать положение функции $(\frac{3}{2})^x +\frac{1}{2^x}$ относительно прямой $y=2$ и заключить, что корни $x=0$ и $x=1$ единственные.

bot в сообщении #1348029 писал(а):

4. Пусть матрицы $A$ и $B$ второго порядка перестановочны и имеют характеристические многочлены $\lambda^2-3\lambda+2$ и $\lambda^2-1$ соответственно. Докажите, что хотя бы одна из матриц $A+B$ или $A-B$ вырождена.

Оба характеристических полинома разлагаются на линейные множители в $\mathbb{Z},$ поэтому каждую матрицу по отдельности можно в некотором базисе сделать диагональной. Но поскольку матрицы коммутируют, такой базис можно найти сразу для двух матриц. Тогда хотя бы у одной из матриц $A+B$ и $A-B$ в новом базисе будет собственное число $0.$

[mihiv]

bot в сообщении #1348029 писал(а):

2. Пусть $ f_1(x)=3x-4x^3,\,\, f_n(x)=f_1(f_{n-1}(x))$. Вычислите $\int\limits_{-1}^1f_n^2(x)\,dx$ и его предел при $n\to \infty.$

Обозначим $x=\sin \varphi $, тогда: $f_1(\sin \varphi )=\sin 3\varphi , f_n(\sin \varphi )=\sin 3^n\varphi , \lim _{n\to \infty }\int \limits _{-1}^{1}f_n^2(x)dx=1.$

[DeBill]

kotenok gav в сообщении #1348031 писал(а):

bot в сообщении #1348029

писал(а):
1. В каком случае полином $1+x^n+x^{2n}+\ldots+x^{(m-1)n}$ делится без остатка на полином $1+x+x^{2}+\ldots+x^{m-1}?$
В любом случае.

И в случае 2-2? 2-4? 3-3?

[iou]

bot в сообщении #1348029 писал(а):

1. В каком случае полином $1+x^n+x^{2n}+\ldots+x^{(m-1)n}$ делится без остатка на полином $1+x+x^{2}+\ldots+x^{m-1}?$

$p(x)=1+x+..+x^{m-1}=\frac{x^m-1}{x-1}, q(x)=1+x^n+..+x^{n(m-1)}=\frac{x^{mn}-1}{x^n-1}.$ Если $p(x) | q(x),$ то каждый нетривиальный корень из единицы степени $m$ должен не быть корнем из единицы степени $n.$ То есть $\forall 1 \le l \le m-1$ не найдётся такого целого $s,$ что $n = \frac{ms}{l},$ то есть $(n, m) = 1.$

[arqady]

iou в сообщении #1348113 писал(а):

можно исследовать положение функции $(\frac{3}{2})^x +\frac{1}{2^x}$ относительно прямой $y=2$ и заключить, что корни $x=0$ и $x=1$ единственные.

Конечно! Ведь $f(x)=\left(\frac{3}{2}\right)^x +\frac{1}{2^x}$ выпуклая и поэтому прямая может пересекать её график в двух точках максимум.

[TOTAL]

bot в сообщении #1348029 писал(а):

4. Пусть матрицы $A$ и $B$ второго порядка перестановочны и имеют характеристические многочлены $\lambda^2-3\lambda+2$ и $\lambda^2-1$ соответственно. Докажите, что хотя бы одна из матриц $A+B$ или $A-B$ вырождена.

$(A-B)(A+B)X=(A^2-B^2)X=0$, где $X$-собственный вектор для $A$, соответствующий $\lambda=1$

[kotenok gav]

DeBill в сообщении #1348176 писал(а):

И в случае 2-2? 2-4? 3-3?

Я забыл про знаменатель, почему-то подумал, что он $x-1$ в обоих случаях.

[TOTAL]

bot в сообщении #1348029 писал(а):

1. В каком случае полином $1+x^n+x^{2n}+\ldots+x^{(m-1)n}$ делится без остатка на полином $1+x+x^{2}+\ldots+x^{m-1}?$

Так как $x^{mk}-1$ всегда делится, то степени $0,n,2n, ...$ можно заменить остатками от деления на $m$. То есть делится тогда и только тогда, когда все остатки разные. Засчитывается такое решение?

-- Пн окт 22, 2018 11:43:05 --

SomePupil в сообщении #1348036 писал(а):

bot в сообщении #1348029 писал(а):

3. Можно ли квадрат $2018\times2018$ разрезать на прямоугольники $1\times4?$

Нет.
Покрасим первый столбец в первый цвет, второй $-$ во второй, третий $-$ в третий, четвертый $-$ в четвертый, пятый $-$ снова в первый и т. д.

Предлагаю сэкономить (на краске и на работе художника), т.е. покрасить только клетки с обеими четными координатами. Таких клеток нечетное число, а полоска закрывает четно число (ноль или две)