2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение21.10.2018, 09:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5625
Новосибирск
ОЛИМПИАДА НГУ 2018 г. (21 октября, завершена)

1 курс

1. Имеется две корзины, содержащие $m$ и $n$ камней. Вася и Петя играют в следующую игру.
Каждый игрок в свою очередь должен выбросить из любой корзины любое положительное число камней и столько же камней переложить из неё в другую корзину.
Игрок, который не сможет сделать хода, проигрывает. Вася начинает. Кто выиграет в зависимости от $m$ и $n$?

2. Пусть $ a,b,c>0.$ Докажите неравенство $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 2\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right)$

3. Можно ли квадрат $2018\times2018$ разрезать на прямоугольники $1\times4?$

4. Найдите все действительные решения уравнения $2x^2=(x-1)\lfloor x\rfloor$, где $ \lfloor x \rfloor $ означает целую часть $ x, $ то есть наибольшее целое, не превосходящее $ x. $


5. В треугольник с целочисленными высотами вписана окружность радиуса 1. Какова может быть его площадь?

2-4 курсы

1. В каком случае полином $1+x^n+x^{2n}+\ldots+x^{(m-1)n}$ делится без остатка на полином $1+x+x^{2}+\ldots+x^{m-1}?$

2. Пусть $ f_1(x)=3x-4x^3,\,\, f_n(x)=f_1(f_{n-1}(x))$. Вычислите $\int\limits_{-1}^1f_n^2(x)\,dx$ и его предел при $n\to \infty.$

3. Найдите все действительные решения уравнения $6^x+3^x+1=2^x+2^{2x+1}.$

4. Пусть матрицы $A$ и $B$ второго порядка перестановочны и имеют характеристические многочлены $\lambda^2-3\lambda+2$ и $\lambda^2-1$ соответственно. Докажите, что хотя бы одна из матриц $A+B$ или $A-B$ вырождена.

5. Исследуйте сходимость последовательности $x_0=2018, \, x_{n+1}=f(x_n)$, где $f(x)=\frac{2}{x}-1$.

PS. Это был подготовительный тур Сибирской математической олимпиады, которая состоится 11 ноября.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение21.10.2018, 09:44 


21/05/16
2427
Аделаида
bot в сообщении #1348029 писал(а):
3. Можно ли квадрат $2018\times2018$ разрезать на прямоугольники $1\times4?$

Какая-нибудь ракраска?

-- 21 окт 2018, 17:18 --

bot в сообщении #1348029 писал(а):
1. В каком случае полином $1+x^n+x^{2n}+\ldots+x^{(m-1)n}$ делится без остатка на полином $1+x+x^{2}+\ldots+x^{m-1}?$

В любом случае.

-- 21 окт 2018, 17:20 --

bot в сообщении #1348029 писал(а):
Вычислите $\int\limits_{-1}^1f_n^2(x)\,dx$ и его предел при $n\to \infty.$

Надо смотреть на первые интегралы и далее доказывать по индукции?

-- 21 окт 2018, 17:24 --

bot в сообщении #1348029 писал(а):
5. Исследуйте сходимость последовательности $x_0=2018, \, x_{n+1}=f(x_n)$, где $f(x)=\frac{2}{x}-1$.

Кажется, там где-то 0 возникнет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение21.10.2018, 10:18 
Аватара пользователя


07/01/15
999
Якутск

(3)

bot в сообщении #1348029 писал(а):
3. Можно ли квадрат $2018\times2018$ разрезать на прямоугольники $1\times4?$

Нет.
Покрасим первый столбец в первый цвет, второй $-$ во второй, третий $-$ в третий, четвертый $-$ в четвертый, пятый $-$ снова в первый и т. д. Получим разницу между количеством клеток первого и третьего цветов $2018,$ т. е. сравнимую с $2$ по модулю $4$. Добавление прямоугольников $1 \times 4$ не меняет остаток разницы между количеством покрытых клеток первого и третьего цветов по модулю $4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение21.10.2018, 11:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1156
Антарктика
bot в сообщении #1348029 писал(а):
5. Исследуйте сходимость последовательности $x_0=2018, \, x_{n+1}=f(x_n)$, где $f(x)=\frac{2}{x}-1$.

Из теоремы Лагранжа следует, что на полуинтервале $[-3,-\sqrt{2})$ отображение $f:[-3,-\sqrt{2})\to\left(-\sqrt{2}-1,-\frac{5}{3}\right]$ -- сжимающее. Поскольку $x_4\in(-3,-\sqrt{2})$ (если не обсчитался), то, переходя к пределу, получим ответ $-2$. Остаются мелочи типа отступить от конца $-\sqrt{2}$, чтобы обеспечить полноту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение21.10.2018, 12:07 
Заслуженный участник


03/01/09
1317
москва
$\frac 1{h_1}+\frac 1{h_2}+\frac 1{h_3}=1, h_i$- высоты треугольника. Отсюда возможные значения высот: (3,3,3), (2,3,6) и (2,4,4).

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение21.10.2018, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5625
Новосибирск
kotenok gav в сообщении #1348031 писал(а):
Кажется, там где-то 0 возникнет.

Вопрос о возникании возникнуть определённо должен. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение21.10.2018, 16:36 


26/08/11
1777
bot в сообщении #1348029 писал(а):
1. Имеется две корзины, содержащие $m$ и $n$ камней. Вася и Петя играют в следующую игру.
Каждый игрок в свою очередь должен выбросить из любой корзины любое положительное число камней и столько же камней переложить из неё в другую корзину.
Игрок, который не сможет сделать хода, проигрывает. Вася начинает. Кто выиграет в зависимости от $m$ и $n$?
Если $|m-n|$>1 Вася выигрывает (если не тупой), иначе проигрывает.
bot в сообщении #1348029 писал(а):
2. Пусть $ a,b,c>0.$ Докажите неравенство $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 2\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right)$
$\dfrac 1 a+\dfrac 1 b -\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\ge 0$ Аналогично для $\dfrac 1 b+\dfrac 1 c$ и $\dfrac 1 c+\dfrac 1 a$
bot в сообщении #1348029 писал(а):
4. Найдите все действительные решения уравнения $2x^2=(x-1)\lfloor x\rfloor$
Уравнение $2x^2-kx+k=0$, где $k=\lfloor x\rfloor\in \mathbb{Z}$ должо иметь корней в интервале $[k;k+1)$

Решения: $0,-1,-\dfrac{1+\sqrt 5}{2},-\dfrac{3+\sqrt{33}}{4}$

-- 21.10.2018, 15:42 --

Shadow в сообщении #1348112 писал(а):
Если $|m-n|$>1 Вася выигрывает (если не тупой), иначе проигрывает.
Хм, при $(2,1)$ Вася выигрывает, так что поспешил с выводами.

upd, Глупости, не выигрывает. Затупил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение21.10.2018, 16:43 
Аватара пользователя


04/10/15
248
bot в сообщении #1348029 писал(а):
3. Найдите все действительные решения уравнения $6^x+3^x+1=2^x+2^{2x+1}.$

$a = 2^x, ~ b = 3^x,$ тогда исходное уравнение запишется в виде: $2a^2 + a(1-b) - (b+1) = 0,$ решим относительно $a.$ Получим $D = (b+3)^2,$ тогда корни $a=\frac{b+1}{2}, a = -1.$ Второе решение отбрасываем из положительности и получаем $2^{x+1} = 3^x + 1.$ Ясно, что нет корней на $(-\infty, 0) \cup (1, \infty),$ чтобы понять, что нет корней на интервале $(0, 1)$ можно исследовать положение функции $(\frac{3}{2})^x +\frac{1}{2^x}$ относительно прямой $y=2$ и заключить, что корни $x=0$ и $x=1$ единственные.

bot в сообщении #1348029 писал(а):
4. Пусть матрицы $A$ и $B$ второго порядка перестановочны и имеют характеристические многочлены $\lambda^2-3\lambda+2$ и $\lambda^2-1$ соответственно. Докажите, что хотя бы одна из матриц $A+B$ или $A-B$ вырождена.


Оба характеристических полинома разлагаются на линейные множители в $\mathbb{Z},$ поэтому каждую матрицу по отдельности можно в некотором базисе сделать диагональной. Но поскольку матрицы коммутируют, такой базис можно найти сразу для двух матриц. Тогда хотя бы у одной из матриц $A+B$ и $A-B$ в новом базисе будет собственное число $0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение21.10.2018, 17:12 
Заслуженный участник


03/01/09
1317
москва
bot в сообщении #1348029 писал(а):


2. Пусть $ f_1(x)=3x-4x^3,\,\, f_n(x)=f_1(f_{n-1}(x))$. Вычислите $\int\limits_{-1}^1f_n^2(x)\,dx$ и его предел при $n\to \infty.$

Обозначим $x=\sin \varphi $, тогда: $f_1(\sin \varphi )=\sin 3\varphi , f_n(\sin \varphi )=\sin 3^n\varphi , \lim _{n\to \infty }\int \limits _{-1}^{1}f_n^2(x)dx=1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение21.10.2018, 20:03 
Заслуженный участник


10/01/16
1892
kotenok gav в сообщении #1348031 писал(а):
bot в сообщении #1348029

писал(а):
1. В каком случае полином $1+x^n+x^{2n}+\ldots+x^{(m-1)n}$ делится без остатка на полином $1+x+x^{2}+\ldots+x^{m-1}?$
В любом случае.

И в случае 2-2? 2-4? 3-3?

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение21.10.2018, 20:26 
Аватара пользователя


04/10/15
248
bot в сообщении #1348029 писал(а):
1. В каком случае полином $1+x^n+x^{2n}+\ldots+x^{(m-1)n}$ делится без остатка на полином $1+x+x^{2}+\ldots+x^{m-1}?$

$p(x)=1+x+..+x^{m-1}=\frac{x^m-1}{x-1}, q(x)=1+x^n+..+x^{n(m-1)}=\frac{x^{mn}-1}{x^n-1}.$ Если $p(x) | q(x),$ то каждый нетривиальный корень из единицы степени $m$ должен не быть корнем из единицы степени $n.$ То есть $\forall 1 \le l \le m-1$ не найдётся такого целого $s,$ что $n = \frac{ms}{l},$ то есть $(n, m) = 1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение22.10.2018, 09:04 
Заслуженный участник


26/06/07
1850
Tel-aviv
iou в сообщении #1348113 писал(а):
можно исследовать положение функции $(\frac{3}{2})^x +\frac{1}{2^x}$ относительно прямой $y=2$ и заключить, что корни $x=0$ и $x=1$ единственные.

Конечно! Ведь $f(x)=\left(\frac{3}{2}\right)^x +\frac{1}{2^x}$ выпуклая и поэтому прямая может пересекать её график в двух точках максимум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение22.10.2018, 09:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4696
Нов-ск
bot в сообщении #1348029 писал(а):
4. Пусть матрицы $A$ и $B$ второго порядка перестановочны и имеют характеристические многочлены $\lambda^2-3\lambda+2$ и $\lambda^2-1$ соответственно. Докажите, что хотя бы одна из матриц $A+B$ или $A-B$ вырождена.

$(A-B)(A+B)X=(A^2-B^2)X=0$, где $X$-собственный вектор для $A$, соответствующий $\lambda=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение22.10.2018, 09:06 


21/05/16
2427
Аделаида
DeBill в сообщении #1348176 писал(а):
И в случае 2-2? 2-4? 3-3?

Я забыл про знаменатель, почему-то подумал, что он $x-1$ в обоих случаях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение22.10.2018, 10:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4696
Нов-ск
bot в сообщении #1348029 писал(а):
1. В каком случае полином $1+x^n+x^{2n}+\ldots+x^{(m-1)n}$ делится без остатка на полином $1+x+x^{2}+\ldots+x^{m-1}?$

Так как $x^{mk}-1$ всегда делится, то степени $0,n,2n, ...$ можно заменить остатками от деления на $m$. То есть делится тогда и только тогда, когда все остатки разные. Засчитывается такое решение?

-- Пн окт 22, 2018 11:43:05 --

SomePupil в сообщении #1348036 писал(а):
bot в сообщении #1348029 писал(а):
3. Можно ли квадрат $2018\times2018$ разрезать на прямоугольники $1\times4?$

Нет.
Покрасим первый столбец в первый цвет, второй $-$ во второй, третий $-$ в третий, четвертый $-$ в четвертый, пятый $-$ снова в первый и т. д.

Предлагаю сэкономить (на краске и на работе художника), т.е. покрасить только клетки с обеими четными координатами. Таких клеток нечетное число, а полоска закрывает четно число (ноль или две)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group