2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 02:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17038
Москва

(Sicker)

Sicker в сообщении #1347432 писал(а):
абсолютно рандомное перемешивание
А нельзя ли было сказать по-русски: "абсолютно случайное перемешивание"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 12:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2078
Внутри ускорителя
Забыл вчера отправить... :oops:

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1347300 писал(а):
А если взаимодействия простые как столкновения частиц в газе?

В идеальном газе их влияние пренебрежимо мало. А в конденсированных телах приходится отказываться от простого взгляда на систему как комбинацию различных частиц и переходить, например, к коллективным степеням свободы (пример: фононы в кристаллах). А что творится между этими двумя крайностями -- это область веселья.

К тому же при выводе ансамблей конкретной системы -- это дело десятое. Они предоставляют удобную модель исходя из определённых предпосылок, а что происходит в каждом конкретном случае -- это уже мелочи и частности.
Sicker в сообщении #1347300 писал(а):
Зададим немаксвелловское распределение скоростей частиц. Разве они в процессе эволюции при многочисленных столкновениях между собой не придут к максвелловскому?

Предполагается, что должен. Хотя некоторые численные эксперименты с этим не согласны. Тут, насколько я знаю, до окончательного ответа ещё далеко.
Sicker в сообщении #1347300 писал(а):
Макроканоническое распределение

А это что ещё за зверь?!
Sicker в сообщении #1347300 писал(а):
Состояние системы это распределение частиц в пространстве импульсов и координат.

Ответа при этом на то, что такое микросостояние и макросостояние при этом мы не получили... Кого из них Вы описали?
Sicker в сообщении #1347300 писал(а):
Микроканоническое распределение это распределение частиц ансамбля в изолированной системе с сохранением общей энергии.

Распределение где конкретно? В чём математически они распределены?
Sicker в сообщении #1347300 писал(а):
Вот берем две рандомных частицы, считаем их энергию, и также рандомно их распределяем по ячейкам с сохранением их суммарной полной энергии.

Sicker в сообщении #1347300 писал(а):
Теперь начинаем перемешивать частицы,

Вы уж определитесь, пожалуйста, они сами стремятся, или Вы
их мешаете... а то какая-то мешанина у Вас...
Sicker в сообщении #1347300 писал(а):
их с натуральными коэффициентами

А когда число частиц у Вас бесконечно велико (что явно предполагается в стат.термодинамике), то эти "натуральные коэффициенты" $n_i$ можно заменить на $w_i =\frac{n_i}{N}$, что в пределе уже является просто произвольным числом из $[0;+\infty) \subset \mathbb{R}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 13:29 


29/12/14
442
Sicker в сообщении #1347341 писал(а):
Вы правы, но все таки если задать достаточно произвольное, то придет?

Ну, я не являюсь экспертом в этих делах, так что только большей части интуитивные представления могу дать. Тут вопрос в том, что именно понимать под идеальным газом и какие граничные условия брать. Если, например, точечные частицы с периодическим граничным условием или идеально упругими стенками, то с чего бы. Если точечные частицы, но стенки неидеальные, то газ придёт в тепловое равновесие со стенками. Если частицы имеют конечный размер $r$, то газ тоже может термализоваться, хотя характерное время будет зависеть от $r/\lambda$, где $\lambda$ — длина свободного пробега, определяемая концентрацией молекул и средней скоростью.

Ну и чтобы вы понимали, что всё в целом не так просто, могу отметить, что в случае, например, дальнодействующих взаимодействий (это когда $V(r) \sim 1/r^{\sigma}$, $\sigma \leq d$) система, насколько я знаю, не тремализуется вообще. Об этом нужно Pphantom, вероятно, спрашивать, но вроде как система частиц, взаимодействующих посредством ньютоновской гравитации, к равновесию не приходит никогда. Там есть какие-то другие режимы и всякие квазиравновесия вроде, но тут я уже ничего не знаю.

Sicker в сообщении #1347350 писал(а):
Ведь состояния получаются в результате квазислучайных процессов.
Eule_A в сообщении #1347347 писал(а):
Вот это просто верх доказательности. Sicker, Вы по-прежнему говорите много слов, которые ничем не обосновываете. Что-то нужно менять в подходе.

Я не знаю как это доказать, разве это не очевидно? Ведь состояния получаются в результате квазислучайных процессов.

Это какой-то квазислучайный набор слов, по-моему.

madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):
можно заменить на $w_i =\frac{n_i}{N}$, что в пределе уже является просто произвольным числом из $[0;+\infty) \subset \mathbb{R}$

Рациональным числом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 13:34 
Аватара пользователя


13/08/13
3971
madschumacher в сообщении #1347491 писал(а):
Можно подвести в качестве обоснований всякие соображения, типа "система стремиться минимизировать воздействие системы, т.к. при возмущении от термостата ей с наибольшей вероятностью удастся остаться в том же состоянии, а не перейти во что-то ещё", но суть от этого не меняется. Вместо того, чтобы плодить дурную бесконечность определений и обоснований лучше остановиться на этой интуитивно понятной концепции.

А почему нужны именно внешние возмущения от термостата? Почему частицы сами себя не могут возмущать внутри системы?

-- 19.10.2018, 13:46 --

madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):
Предполагается, что должен. Хотя некоторые численные эксперименты с этим не согласны. Тут, насколько я знаю, до окончательного ответа ещё далеко.

А там же получится обычная цепь Маркова, которая стремится к стационарному состоянию, нет?
madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):
А это что ещё за зверь?!

Это где есть обмен частиц :-) Но в данном случае я так обозвал обычное каноническое.
madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):
Ответа при этом на то, что такое микросостояние и макросостояние при этом мы не получили... Кого из них Вы описали?

Все сразу
madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):
Распределение где конкретно? В чём математически они распределены?

В пространстве энергий, если мы про квантовые уровни
madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):
Вы уж определитесь, пожалуйста, они сами стремятся, или Вы
их мешаете... а то какая-то мешанина у Вас...

Вы читаете мои сообщения наоборот :-) Они сами стремятся, и в частности потому что мы хотим :-) Модельная задача например
madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):
А когда число частиц у Вас бесконечно велико (что явно предполагается в стат.термодинамике), то эти "натуральные коэффициенты" $n_i$ можно заменить на $w_i =\frac{n_i}{N}$, что в пределе уже является просто произвольным числом из $[0;+\infty) \subset \mathbb{R}$

Вам уже ниже ответили что получим рациональное
Gickle в сообщении #1347661 писал(а):
. Если частицы имеют конечный размер $r$, то газ тоже может термализоваться, хотя характерное время будет зависеть от $r/\lambda$, где $\lambda$ — длина свободного пробега, зависящая от концентрации молекул и средней скорости.

Вот это я и имел ввиду :-) Потенциалы пока не трогаем, хотя и можно тронуть
P.S. Я читал одну статью, и там был вывод канонических распределений из принципа максимальности информационной энтропии. Я пытался ее найти но не нашел, может быть кто с ней сталкивался? Там рассматривалась квантовая система с дискретными уровнями $E_0, E_1, E_2,...$ с вероятностями обнаружения частицы в этих уровнях $p_0, p_1,...$ и фиксировалась суммарная единичная вероятность и полная энергия $N\sum p_i E_i=NE$. Дальше применялся принцип экстремальности информационной энтропии путем нахождения экстремума функционала $-\sum p_i \ln p_i$ при наложении двух вышенаписанных условий методом множителей Лагранжа. И распределения получались равны $n_i=N\exp(-\frac{E_i}{E})$, т.е. в знаменателе экспоненты стояла полная энергия системы, а не температура на постоянную Больцмана. И дальше с помощью этого метода находились распределения для систем со спином и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 13:58 


29/12/14
442
Sicker в сообщении #1347663 писал(а):
Вот это я и имел ввиду :-) Потенциалы пока не трогаем, хотя и можно тронуть

Sicker в сообщении #1347663 писал(а):
т.е. в знаменателе экспоненты стояла полная энергия системы, а не температура на постоянную Больцмана.

Какое вы ожидаете равновесное распределение у системы, которую вы "и имели в виду"? Не словами, а формулой напишите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 14:21 
Аватара пользователя


13/08/13
3971
Gickle в сообщении #1347668 писал(а):
Какое вы ожидаете равновесное распределение у системы, которую вы "и имели в виду"? Не словами, а формулой напишите.

Я уже написал выше, где $n_i$

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 14:24 


29/12/14
442
Sicker в сообщении #1347674 писал(а):
Я уже написал выше, где $n_i$

Я про газ абсолютно эластично соударяющихся сфер конечного радиуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2078
Внутри ускорителя
Gickle в сообщении #1347661 писал(а):
Рациональным числом.

Да, действительно, что-то я туплю... :facepalm:
Sicker в сообщении #1347663 писал(а):
А почему нужны именно внешние возмущения от термостата? Почему частицы сами себя не могут возмущать внутри системы?

Да что значит возмущать? При выводе распределений для разных ансамблей вообще ничего о взаимодействиях, уравнениях движения и т.д. не говорится.
Суть термостата -- это перемешать систему так, чтобы она достигла максимума энтропии. Это абстрактная модель с физическими предпосылками. Все эти рассуждения о стенках и частицах газа -- предпосылки и не более.

А "возмущать", точнее взаимодействовать, они могут. А могут и не взаимодействовать и двигаться независимо. Ансамблям на это, строго говоря, пофиг. Потому что они оперируют, как Вам уже многократно говорил тот же warlock66613, не отдельными частицами, а фазовыми пространствами всей системы.
Sicker в сообщении #1347663 писал(а):
А там же получится обычная цепь Маркова, которая стремится к стационарному состоянию, нет?

А это надо доказывать, и в случае даже обычного одноатомного классического газа это не так тривиально. Предполагается, что -- да (это утверждение называется эргодической гипотезой). Но существуют системы для которых она неверна, и Gickle такой пример приводил.
Sicker в сообщении #1347663 писал(а):
Это где есть обмен частиц :-) Но в данном случае я так обозвал обычное каноническое.

Не, давайте договоримся, что Вы освоите нормальную терминологию и перестанете путаться сами и путать окружающих. А то раздражает... :twisted:
Sicker в сообщении #1347663 писал(а):
Все сразу

Ну щас!

(Оффтоп)

Если не делать разницы между игрушечным троллейбусом и обычным троллейбусом, можно закончить у него под колёсами, предположив, что как и в случае маленькой его версии Вы его сломаете, подставив себя под его удар.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5779
Sicker в сообщении #1347663 писал(а):
Я читал одну статью
По описанию похоже на какую-то статью про статфизику конечных систем (это когда число частиц недостаточно велико для принятия $N \to \infty$). В отличие от обычной статфизики, там бывают самые причудливые рапределения в зависимости от условий, в которых находятся система.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17038
Москва
Gickle в сообщении #1347661 писал(а):
madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):
можно заменить на $w_i =\frac{n_i}{N}$, что в пределе уже является просто произвольным числом из $[0;+\infty) \subset \mathbb{R}$

Рациональным числом.
Предел последовательности рациональных чисел не обязан быть рациональным.

-- Пт окт 19, 2018 15:45:57 --

Sicker в сообщении #1347663 писал(а):
А там же получится обычная цепь Маркова, которая стремится к стационарному состоянию, нет?
Совсем не обязательно. Для того, чтобы цепь Маркова стремилась к стационарному состоянию, должен выполняться некий набор условий, которому удовлетворяет не всякая цепь Маркова, даже если ограничиться конечными цепями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 15:51 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
19960
Кронштадт
Gickle в сообщении #1347661 писал(а):
Ну и чтобы вы понимали, что всё в целом не так просто, могу отметить, что в случае, например, дальнодействующих взаимодействий (это когда $V(r) \sim 1/r^{\sigma}$, $\sigma \leq d$) система, насколько я знаю, не тремализуется вообще. Об этом нужно Pphantom, вероятно, спрашивать, но вроде как система частиц, взаимодействующих посредством ньютоновской гравитации, к равновесию не приходит никогда. Там есть какие-то другие режимы и всякие квазиравновесия вроде, но тут я уже ничего не знаю.
Ну а что тут спрашивать... все правильно. Если хочется разбираться в деталях, можно найти книгу У.Саслау, "Гравитационная физика звездных и галактических систем" (ее переводили на русский язык и скан можно найти в сети) и посмотреть часть I и несколько параграфов из части II.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 15:53 


29/12/14
442
Someone в сообщении #1347701 писал(а):
Предел последовательности рациональных чисел не обязан быть рациональным.

Да, я тоже уже потом подумал об этом. Тут я типично для физика в уме держал предел $1 \ll N < +\infty$.
Pphantom в сообщении #1347704 писал(а):
Если хочется разбираться в деталях, можно найти книгу У.Саслау, "Гравитационная физика звездных и галактических систем" (ее переводили на русский язык и скан можно найти в сети) и посмотреть часть I и несколько параграфов из части II.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 16:12 
Аватара пользователя


13/08/13
3971
Gickle в сообщении #1347676 писал(а):
Я про газ абсолютно эластично соударяющихся сфер конечного радиуса.

А, ну ожидаю обычное максвелловское.
Его вид есть в википедии, если вы так хотите его увидеть :-)
madschumacher в сообщении #1347691 писал(а):
Суть термостата -- это перемешать систему так, чтобы она достигла максимума энтропии.

Как это доказывается?
madschumacher в сообщении #1347691 писал(а):
А "возмущать", точнее взаимодействовать, они могут. А могут и не взаимодействовать и двигаться независимо. Ансамблям на это, строго говоря, пофиг. Потому что они оперируют, как Вам уже многократно говорил тот же warlock66613, не отдельными частицами, а фазовыми пространствами всей системы.

Ну так я все время и говорю про фазовые пространства, а не отдельные частицы :-)
warlock66613 в сообщении #1347699 писал(а):
По описанию похоже на какую-то статью про статфизику конечных систем (это когда число частиц недостаточно велико для принятия $N \to \infty$). В отличие от обычной статфизики, там бывают самые причудливые рапределения в зависимости от условий, в которых находятся система.

Хм, там же тогда напрямую неприменим принцип максимума энтропии (термодинамической или информационной), т.к. он идеально выполняется только в пределе бесконечно большого числа частиц.
Someone в сообщении #1347701 писал(а):
Совсем не обязательно. Для того, чтобы цепь Маркова стремилась к стационарному состоянию, должен выполняться некий набор условий, которому удовлетворяет не всякая цепь Маркова, даже если ограничиться конечными цепями.

Какими условиями? :roll:
P.S. А почему никто не ответил на вопрос по той статье про принцип максимального производства энтропии? Почему он не работает в простой задаче с диффузией? Или какие системы подходят под этот принцип? (там говорится про турбулентные потоки в частности, и я думаю что при неравновесном распределении скоростей идеального газа в случае идеальных сфер он тоже выполняется)

-- 19.10.2018, 16:15 --

И еще вопрос, а почему мы не можем взять изолированную систему с сохранением энергии, и искусственно перемешать там все состояния? Ведь такая же экспонента получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 16:32 


29/12/14
442
Sicker в сообщении #1347708 писал(а):
А, ну ожидаю обычное максвелловское.

А что будет являться температурой? Вам было бы полезно подумать над этим вопросом, по-моему. Потому что вы явно испытываете трудности в понимании базовых элементов (равновесной и неравновесной) статистической механики.

Sicker в сообщении #1347708 писал(а):
Какими условиями? :roll:

Это вроде ПРР, а не справочная же. Вот вам пример (однородного) марковского процесса, который не имеет стационарного состояния: двухуровневая система, начальное состояние $\mathbf{p}_0 =(p_1,p_2)^{T}$, где $p_1, p_2 \geq 0$ и $p_1 + p_2 = 1,$ матрица перехода $Q = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Может, наведёт на какие-то мысли пример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные энергетические уровни
Сообщение19.10.2018, 16:52 
Аватара пользователя


13/08/13
3971
Gickle в сообщении #1347717 писал(а):
А что будет являться температурой?

Средней кинетической энергией частиц (деленной на k с каким то множителем ага), ну или вообще параметром, пропорциональном энергии на единицу вещества (в молях)
Gickle в сообщении #1347717 писал(а):
Это вроде ПРР, а не справочная же. Вот вам пример (однородного) марковского процесса, который не имеет стационарного состояния: двухуровневая система, начальное состояние $\mathbf{p}_0 =(p_1,p_2)^{T}$, где $p_1, p_2 \geq 0$ и $p_1 + p_2 = 1,$ матрица перехода $Q = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Может, наведёт на какие-то мысли пример.

Ну да, вы правы. Но я имел ввиду более нетривиальную систему, с коей очевидностью является газ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group