Иррациональные энергетические уровни

[Someone]

(Sicker)

Sicker в сообщении #1347432 писал(а):

абсолютно рандомное перемешивание

А нельзя ли было сказать по-русски: "абсолютно случайное перемешивание"?

[madschumacher]

Забыл вчера отправить...

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #1347300 писал(а):

А если взаимодействия простые как столкновения частиц в газе?

В идеальном газе их влияние пренебрежимо мало. А в конденсированных телах приходится отказываться от простого взгляда на систему как комбинацию различных частиц и переходить, например, к коллективным степеням свободы (пример: фононы в кристаллах). А что творится между этими двумя крайностями -- это область веселья.

К тому же при выводе ансамблей конкретной системы -- это дело десятое. Они предоставляют удобную модель исходя из определённых предпосылок, а что происходит в каждом конкретном случае -- это уже мелочи и частности.

Sicker в сообщении #1347300 писал(а):

Зададим немаксвелловское распределение скоростей частиц. Разве они в процессе эволюции при многочисленных столкновениях между собой не придут к максвелловскому?

Предполагается, что должен. Хотя некоторые численные эксперименты с этим не согласны. Тут, насколько я знаю, до окончательного ответа ещё далеко.

Sicker в сообщении #1347300 писал(а):

Макроканоническое распределение

А это что ещё за зверь?!

Sicker в сообщении #1347300 писал(а):

Состояние системы это распределение частиц в пространстве импульсов и координат.

Ответа при этом на то, что такое микросостояние и макросостояние при этом мы не получили... Кого из них Вы описали?

Sicker в сообщении #1347300 писал(а):

Микроканоническое распределение это распределение частиц ансамбля в изолированной системе с сохранением общей энергии.

Распределение где конкретно? В чём математически они распределены?

Sicker в сообщении #1347300 писал(а):

Вот берем две рандомных частицы, считаем их энергию, и также рандомно их распределяем по ячейкам с сохранением их суммарной полной энергии.

Sicker в сообщении #1347300 писал(а):

Теперь начинаем перемешивать частицы,

Вы уж определитесь, пожалуйста, они сами стремятся, или Вы
их мешаете... а то какая-то мешанина у Вас...

Sicker в сообщении #1347300 писал(а):

их с натуральными коэффициентами

А когда число частиц у Вас бесконечно велико (что явно предполагается в стат.термодинамике), то эти "натуральные коэффициенты" $n_i$ можно заменить на $w_i =\frac{n_i}{N}$, что в пределе уже является просто произвольным числом из $[0;+\infty) \subset \mathbb{R}$

[Gickle]

Sicker в сообщении #1347341 писал(а):

Вы правы, но все таки если задать достаточно произвольное, то придет?

Ну, я не являюсь экспертом в этих делах, так что только большей части интуитивные представления могу дать. Тут вопрос в том, что именно понимать под идеальным газом и какие граничные условия брать. Если, например, точечные частицы с периодическим граничным условием или идеально упругими стенками, то с чего бы. Если точечные частицы, но стенки неидеальные, то газ придёт в тепловое равновесие со стенками. Если частицы имеют конечный размер $r$, то газ тоже может термализоваться, хотя характерное время будет зависеть от $r/\lambda$, где $\lambda$ — длина свободного пробега, определяемая концентрацией молекул и средней скоростью.

Ну и чтобы вы понимали, что всё в целом не так просто, могу отметить, что в случае, например, дальнодействующих взаимодействий (это когда $V(r) \sim 1/r^{\sigma}$, $\sigma \leq d$) система, насколько я знаю, не тремализуется вообще. Об этом нужно Pphantom, вероятно, спрашивать, но вроде как система частиц, взаимодействующих посредством ньютоновской гравитации, к равновесию не приходит никогда. Там есть какие-то другие режимы и всякие квазиравновесия вроде, но тут я уже ничего не знаю.

Sicker в сообщении #1347350 писал(а):

Ведь состояния получаются в результате квазислучайных процессов.

Eule_A в сообщении #1347347 писал(а):

Вот это просто верх доказательности. Sicker, Вы по-прежнему говорите много слов, которые ничем не обосновываете. Что-то нужно менять в подходе.

Я не знаю как это доказать, разве это не очевидно? Ведь состояния получаются в результате квазислучайных процессов.

Это какой-то квазислучайный набор слов, по-моему.

madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):

можно заменить на $w_i =\frac{n_i}{N}$, что в пределе уже является просто произвольным числом из $[0;+\infty) \subset \mathbb{R}$

Рациональным числом.

[Sicker]

madschumacher в сообщении #1347491 писал(а):

Можно подвести в качестве обоснований всякие соображения, типа "система стремиться минимизировать воздействие системы, т.к. при возмущении от термостата ей с наибольшей вероятностью удастся остаться в том же состоянии, а не перейти во что-то ещё", но суть от этого не меняется. Вместо того, чтобы плодить дурную бесконечность определений и обоснований лучше остановиться на этой интуитивно понятной концепции.

А почему нужны именно внешние возмущения от термостата? Почему частицы сами себя не могут возмущать внутри системы?

-- 19.10.2018, 13:46 --

madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):

Предполагается, что должен. Хотя некоторые численные эксперименты с этим не согласны. Тут, насколько я знаю, до окончательного ответа ещё далеко.

А там же получится обычная цепь Маркова, которая стремится к стационарному состоянию, нет?

madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):

А это что ещё за зверь?!

Это где есть обмен частиц Но в данном случае я так обозвал обычное каноническое.

madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):

Ответа при этом на то, что такое микросостояние и макросостояние при этом мы не получили... Кого из них Вы описали?

Все сразу

madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):

Распределение где конкретно? В чём математически они распределены?

В пространстве энергий, если мы про квантовые уровни

madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):

Вы уж определитесь, пожалуйста, они сами стремятся, или Вы
их мешаете... а то какая-то мешанина у Вас...

Вы читаете мои сообщения наоборот Они сами стремятся, и в частности потому что мы хотим Модельная задача например

madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):

А когда число частиц у Вас бесконечно велико (что явно предполагается в стат.термодинамике), то эти "натуральные коэффициенты" $n_i$ можно заменить на $w_i =\frac{n_i}{N}$, что в пределе уже является просто произвольным числом из $[0;+\infty) \subset \mathbb{R}$

Вам уже ниже ответили что получим рациональное

Gickle в сообщении #1347661 писал(а):

. Если частицы имеют конечный размер $r$, то газ тоже может термализоваться, хотя характерное время будет зависеть от $r/\lambda$, где $\lambda$ — длина свободного пробега, зависящая от концентрации молекул и средней скорости.

Вот это я и имел ввиду Потенциалы пока не трогаем, хотя и можно тронуть
P.S. Я читал одну статью, и там был вывод канонических распределений из принципа максимальности информационной энтропии. Я пытался ее найти но не нашел, может быть кто с ней сталкивался? Там рассматривалась квантовая система с дискретными уровнями $E_0, E_1, E_2,...$ с вероятностями обнаружения частицы в этих уровнях $p_0, p_1,...$ и фиксировалась суммарная единичная вероятность и полная энергия $N\sum p_i E_i=NE$. Дальше применялся принцип экстремальности информационной энтропии путем нахождения экстремума функционала $-\sum p_i \ln p_i$ при наложении двух вышенаписанных условий методом множителей Лагранжа. И распределения получались равны $n_i=N\exp(-\frac{E_i}{E})$, т.е. в знаменателе экспоненты стояла полная энергия системы, а не температура на постоянную Больцмана. И дальше с помощью этого метода находились распределения для систем со спином и т.д.

[Gickle]

Sicker в сообщении #1347663 писал(а):

Вот это я и имел ввиду Потенциалы пока не трогаем, хотя и можно тронуть

Sicker в сообщении #1347663 писал(а):

т.е. в знаменателе экспоненты стояла полная энергия системы, а не температура на постоянную Больцмана.

Какое вы ожидаете равновесное распределение у системы, которую вы "и имели в виду"? Не словами, а формулой напишите.

[Sicker]

Gickle в сообщении #1347668 писал(а):

Какое вы ожидаете равновесное распределение у системы, которую вы "и имели в виду"? Не словами, а формулой напишите.

Я уже написал выше, где $n_i$

[Gickle]

Sicker в сообщении #1347674 писал(а):

Я уже написал выше, где $n_i$

Я про газ абсолютно эластично соударяющихся сфер конечного радиуса.

[madschumacher]

Gickle в сообщении #1347661 писал(а):

Рациональным числом.

Да, действительно, что-то я туплю...

Sicker в сообщении #1347663 писал(а):

А почему нужны именно внешние возмущения от термостата? Почему частицы сами себя не могут возмущать внутри системы?

Да что значит возмущать? При выводе распределений для разных ансамблей вообще ничего о взаимодействиях, уравнениях движения и т.д. не говорится.
Суть термостата -- это перемешать систему так, чтобы она достигла максимума энтропии. Это абстрактная модель с физическими предпосылками. Все эти рассуждения о стенках и частицах газа -- предпосылки и не более.

А "возмущать", точнее взаимодействовать, они могут. А могут и не взаимодействовать и двигаться независимо. Ансамблям на это, строго говоря, пофиг. Потому что они оперируют, как Вам уже многократно говорил тот же warlock66613, не отдельными частицами, а фазовыми пространствами всей системы.

Sicker в сообщении #1347663 писал(а):

А там же получится обычная цепь Маркова, которая стремится к стационарному состоянию, нет?

А это надо доказывать, и в случае даже обычного одноатомного классического газа это не так тривиально. Предполагается, что -- да (это утверждение называется эргодической гипотезой). Но существуют системы для которых она неверна, и Gickle такой пример приводил.

Sicker в сообщении #1347663 писал(а):

Это где есть обмен частиц Но в данном случае я так обозвал обычное каноническое.

Не, давайте договоримся, что Вы освоите нормальную терминологию и перестанете путаться сами и путать окружающих. А то раздражает...

Sicker в сообщении #1347663 писал(а):

Все сразу

Ну щас!

(Оффтоп)

Если не делать разницы между игрушечным троллейбусом и обычным троллейбусом, можно закончить у него под колёсами, предположив, что как и в случае маленькой его версии Вы его сломаете, подставив себя под его удар.

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1347663 писал(а):

Я читал одну статью

По описанию похоже на какую-то статью про статфизику конечных систем (это когда число частиц недостаточно велико для принятия $N \to \infty$). В отличие от обычной статфизики, там бывают самые причудливые рапределения в зависимости от условий, в которых находятся система.

[Someone]

Gickle в сообщении #1347661 писал(а):

madschumacher в сообщении #1347635 писал(а):

можно заменить на $w_i =\frac{n_i}{N}$, что в пределе уже является просто произвольным числом из $[0;+\infty) \subset \mathbb{R}$

Рациональным числом.

Предел последовательности рациональных чисел не обязан быть рациональным.

-- Пт окт 19, 2018 15:45:57 --

Sicker в сообщении #1347663 писал(а):

А там же получится обычная цепь Маркова, которая стремится к стационарному состоянию, нет?

Совсем не обязательно. Для того, чтобы цепь Маркова стремилась к стационарному состоянию, должен выполняться некий набор условий, которому удовлетворяет не всякая цепь Маркова, даже если ограничиться конечными цепями.

[Pphantom]

Gickle в сообщении #1347661 писал(а):

Ну и чтобы вы понимали, что всё в целом не так просто, могу отметить, что в случае, например, дальнодействующих взаимодействий (это когда $V(r) \sim 1/r^{\sigma}$, $\sigma \leq d$) система, насколько я знаю, не тремализуется вообще. Об этом нужно Pphantom, вероятно, спрашивать, но вроде как система частиц, взаимодействующих посредством ньютоновской гравитации, к равновесию не приходит никогда. Там есть какие-то другие режимы и всякие квазиравновесия вроде, но тут я уже ничего не знаю.

Ну а что тут спрашивать... все правильно. Если хочется разбираться в деталях, можно найти книгу У.Саслау, "Гравитационная физика звездных и галактических систем" (ее переводили на русский язык и скан можно найти в сети) и посмотреть часть I и несколько параграфов из части II.

[Gickle]

Someone в сообщении #1347701 писал(а):

Предел последовательности рациональных чисел не обязан быть рациональным.

Да, я тоже уже потом подумал об этом. Тут я типично для физика в уме держал предел $1 \ll N < +\infty$.

Pphantom в сообщении #1347704 писал(а):

Если хочется разбираться в деталях, можно найти книгу У.Саслау, "Гравитационная физика звездных и галактических систем" (ее переводили на русский язык и скан можно найти в сети) и посмотреть часть I и несколько параграфов из части II.

Спасибо!

[Sicker]

Gickle в сообщении #1347676 писал(а):

Я про газ абсолютно эластично соударяющихся сфер конечного радиуса.

А, ну ожидаю обычное максвелловское.
Его вид есть в википедии, если вы так хотите его увидеть

madschumacher в сообщении #1347691 писал(а):

Суть термостата -- это перемешать систему так, чтобы она достигла максимума энтропии.

Как это доказывается?

madschumacher в сообщении #1347691 писал(а):

А "возмущать", точнее взаимодействовать, они могут. А могут и не взаимодействовать и двигаться независимо. Ансамблям на это, строго говоря, пофиг. Потому что они оперируют, как Вам уже многократно говорил тот же warlock66613, не отдельными частицами, а фазовыми пространствами всей системы.

Ну так я все время и говорю про фазовые пространства, а не отдельные частицы

warlock66613 в сообщении #1347699 писал(а):

По описанию похоже на какую-то статью про статфизику конечных систем (это когда число частиц недостаточно велико для принятия $N \to \infty$). В отличие от обычной статфизики, там бывают самые причудливые рапределения в зависимости от условий, в которых находятся система.

Хм, там же тогда напрямую неприменим принцип максимума энтропии (термодинамической или информационной), т.к. он идеально выполняется только в пределе бесконечно большого числа частиц.

Someone в сообщении #1347701 писал(а):

Совсем не обязательно. Для того, чтобы цепь Маркова стремилась к стационарному состоянию, должен выполняться некий набор условий, которому удовлетворяет не всякая цепь Маркова, даже если ограничиться конечными цепями.

Какими условиями?
P.S. А почему никто не ответил на вопрос по той статье про принцип максимального производства энтропии? Почему он не работает в простой задаче с диффузией? Или какие системы подходят под этот принцип? (там говорится про турбулентные потоки в частности, и я думаю что при неравновесном распределении скоростей идеального газа в случае идеальных сфер он тоже выполняется)

-- 19.10.2018, 16:15 --

И еще вопрос, а почему мы не можем взять изолированную систему с сохранением энергии, и искусственно перемешать там все состояния? Ведь такая же экспонента получится.

[Gickle]

Sicker в сообщении #1347708 писал(а):

А, ну ожидаю обычное максвелловское.

А что будет являться температурой? Вам было бы полезно подумать над этим вопросом, по-моему. Потому что вы явно испытываете трудности в понимании базовых элементов (равновесной и неравновесной) статистической механики.

Sicker в сообщении #1347708 писал(а):

Какими условиями?

Это вроде ПРР, а не справочная же. Вот вам пример (однородного) марковского процесса, который не имеет стационарного состояния: двухуровневая система, начальное состояние $\mathbf{p}_0 =(p_1,p_2)^{T}$, где $p_1, p_2 \geq 0$ и $p_1 + p_2 = 1,$ матрица перехода $Q = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Может, наведёт на какие-то мысли пример.

[Sicker]

Gickle в сообщении #1347717 писал(а):

А что будет являться температурой?

Средней кинетической энергией частиц (деленной на k с каким то множителем ага), ну или вообще параметром, пропорциональном энергии на единицу вещества (в молях)

Gickle в сообщении #1347717 писал(а):

Это вроде ПРР, а не справочная же. Вот вам пример (однородного) марковского процесса, который не имеет стационарного состояния: двухуровневая система, начальное состояние $\mathbf{p}_0 =(p_1,p_2)^{T}$, где $p_1, p_2 \geq 0$ и $p_1 + p_2 = 1,$ матрица перехода $Q = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Может, наведёт на какие-то мысли пример.

Ну да, вы правы. Но я имел ввиду более нетривиальную систему, с коей очевидностью является газ.