2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Выражение 1 + x + x^2 + x^3 не является квадратом
Сообщение17.10.2018, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Обозначим $f(x,n)=\dfrac{x^n-1}{x-1}=1+x+x^2+...+x^{n-1}\ (x>1)$. Уравнение $f(x,n)=y^2$ имеет тривиальные решения $$f(x,0)=0^2,\ f(x,1)=1^2,\ f(k^2-1,2)=k^2$. Рискну предположить что нетривиальных решений всего два: $f(3,5)=11^2$ и $f(7,4)=20^2$ (из темы). Мой Excel других не видит, рад буду ошибиться. Тут ведь $f(x,i) \equiv y^2 \mod x^i$, довольно жесткое требование. В случае $x=10$, к примеру, уже $11$ квадратичный невычет по $\mod 100$, хотя это не единственная причина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 1 + x + x^2 + x^3 не является квадратом
Сообщение17.10.2018, 16:25 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
$(1+x)(1+x^2)=y^2$
$\gcd(1+x, 1+x^2)=\gcd(1+x,2) \in \{1,2\}$

Если $\gcd(1+x, 1+x^2)=1$, то $1+x=a^2, 1+x^2=b^2$.
$1+x^2=b^2 \Leftrightarrow x=0, b=\pm 1, \Rightarrow y=1$

Если $\gcd(1+x, 1+x^2)=2$, то $x=2z-1$:
$(1+x)(1+x^2)=y^2\Leftrightarrow z(2z^2-2z+1)=(y/2)^2$, т.е. $z=u^2$, $2u^4-2u^2+1=w^2$
$((1+i)u^2-1)((1-i)u^2-1)=w^2$
$\gcd((1+i)u^2-1, (1-i)u^2-1)=\gcd((1+i)u^2-1, 2u^2-2)=$ $\gcd((1+i)u^2-1, u^2-1)=\gcd((1+i)-1, u^2-1)=1$
$w=\alpha\bar\alpha$, в левой части тоже множители сопряженные, ввиду факториальности $\mathbb{Z}[i]$ уравнение равносильно
$(1+i)u^2-1=\alpha^2, \alpha\in\mathbb{Z}[i], u\in\mathbb{Z}$

Далее у меня получился длинный, но понятный вариант через делимость
$(1+i)u^2=(\alpha+i)(\alpha-i)\Rightarrow 1+i | \alpha \pm i \Rightarrow (1+i)^2| (1+i)u^2 \Rightarrow 2|u \Rightarrow u=2v$
$4(1+i)v^2=(\alpha+i)(\alpha-i)$
$(\alpha+i)-(\alpha-i)=2i=(1+i)^2$, значит либо $2(1+i)|\alpha + i$, либо $2(1+i)|\alpha - i$. Разберу только 1-й случай, 2й делается аналогично:
$\alpha=-i+2(1+i)\beta:$
$4(1+i)v^2=(\alpha+i)(\alpha-i)\Leftrightarrow 4(1+i)v^2=2(1+i)\beta(-2i+2(1+i)\beta)$
$4(1+i)v^2=2(1+i)\beta(-2i+2(1+i)\beta)$
$v^2=\beta(-i+(1+i)\beta)$
$\gcd(\beta, -i+(1+i)\beta)=1 \Rightarrow \beta = m^2, -i+(1+i)\beta = n^2$
$v\in\mathbb{Z}\Rightarrow -m,n\in\mathbb{Z}\Rightarrow m=n=1\Rightarrow$
$\beta=1, \alpha = 2+i, v=1, u=2, x=2u^2-1=7, y=5$

Почему-то не прошла попытка выполнить подстановку $\alpha=a+bi$ сразу. По идее должна срабатывать, ибо подстановки и преобразования коммутативны.

-- Ср окт 17, 2018 13:37:33 --

Andrey A в сообщении #1347045 писал(а):
Уравнение $f(x,n)=y^2$ имеет тривиальные решения $$f(x,0)=0^2,\ f(x,1)=1^2,\ f(k^2-1,2)=k^2$. Рискну предположить что нетривиальных решений всего два: $f(3,5)=11^2$ и $f(7,4)=20^2$ (из темы).
На этот счет была только такая тема: Уравнение в натуральных числах. В общем случае надо погуглить

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 1 + x + x^2 + x^3 не является квадратом
Сообщение19.10.2018, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
leweekend в сообщении #1346333 писал(а):
А вот как теперь доказать, что...

Можно воспользоваться тем известным фактом, что треугольное число (сумма натурального ряда) кроме $t_0=0$ и $t_1=1$ не может быть степенью целого с натуральным показателем $>2$. Вернемся к началу. $x^3+x^2+x+1=(x^2+1)(x+1)=y^2.\ x=2n^2-1,x^2=2m^2-1,y=2mn.$ Подставляя первое во второе, получаем $(2n^2-1)^2=2m^2-1$ или $m^2=\left ( (2n^2-1)^2+1 \right )/2=n^4+(n^2-1)^2$. $Отсюда m^2-n^4=(m+n^2)(m-n^2)=(n^2-1)^2.$ Выше у Вас доказано что $n$ четно, и очень хорошо. Значит все скобочки в последнем равенстве суть нечетные квадраты, и можно записать $\left\{\begin{matrix}
m+n^2=(p+q)^2 \\ 
m-n^2=(p-q)^2
\end{matrix}\right$, где $p,q$ - вз. простые разной четности. Тогда $m=p^2+q^2,\ n^2=2pq.$ Без потери общности можно назначить $p=a^2,\ q=2b^2,$ откуда $n=2ab, m=a^4+4b^4$ ($a,b$ вз. просты, $a$ нечетно). Тогда $m^2-n^4=(a^4+4b^4)^2-(2ab)^4=(a^4-4b^4)^2=((2ab)^2-1)^2.$ Основания равных квадратов должны дать $0$ в сумме или в разности. В последнем случае, решая уравнение $a^4-4b^4-(2ab)^2+1=0$, получаем $a^2=2b^2+\sqrt{8b^4-1}$ и $7$$\mod8$ под радикалом. Остается $a^4-4b^4+(2ab)^2-1=0;\ \ a^2=-2b^2+\sqrt{8b^4+1}$. $$(a^2+2b^2)^2=8b^4+1.$$ Значит $b^4$ есть треугольное число, т.е. $b_1=0,\ b_2=\pm 1.$ Соответственно $a_1=a_2=\pm 1.$
$p_{1,2}=1,q_1=0,q_2=2.$ Отсюда следуют оба ненулевых решения, и только они. Мутно, но верно. Доказать более общее утверждение
Andrey A в сообщении #1347045 писал(а):
... что нетривиальных решений уравнения $f(x,n)=y^2$ всего два: $f(3,5)=11^2$ и $f(7,4)=20^2$
таким способом конечно не выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 1 + x + x^2 + x^3 не является квадратом
Сообщение20.10.2018, 12:45 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
На первый взгляд более сложное уравнение: $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=y^2$ почему-то решается гораздо проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 1 + x + x^2 + x^3 не является квадратом
Сообщение20.10.2018, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
$(x+1)^2>x^2+x+1=f(x,3)>x^2$
$f(x,6)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x+1).$ Первый множитель не квадрат и не имеет общего делителя $>1$ с остальными множителями. Да, интересно. Для составного $n$ это может работать, но остается простое $n$ и удвоенное простое. В частности $f(x,5)$, для которого одно решение имеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 1 + x + x^2 + x^3 не является квадратом
Сообщение20.10.2018, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
$f(3,5)=1+3+3^2+3^3+3^4=11^2$ и нетрудно показать, что в случае $x>3\ \ f(x,5)$ лежит в интервале $\left ( \left ( x^2+\frac{x}{2} \right )^2,\left ( x^2+\frac{x+1}{2} \right )^2 \right )$, где нет целых квадратов. Как бы это обобщить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 1 + x + x^2 + x^3 не является квадратом
Сообщение20.10.2018, 17:55 


26/08/11
2057
Andrey A в сообщении #1347929 писал(а):
но остается простое $n$ и удвоенное простое. В частности $f(x,5)$, для которого одно решение имеется.
Для любого конкретного нечетного $n$ (полинома четной степени) решения можно ограничить "между соседними квадратами",как вы проделали с $x^2+x+1$, т.е начиная с какого-то $x$ решений нет.

Для $n=5$ - известная задача $f(x)=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=(2y)^2$

$(2x^2+x)^2<f(x)<(2x^2+x+1)^2\;\forall x>3$. И $x=3$ есть решение.

Для $n=7$, умножением на $64$, будет

$(8x^3+4x^2+3x+2)^2<f(x)<(8x^3+4x^2+3x+3)^2\;\forall x>5$ и т.д., можно попробовать обощить, но муторно как то.

-- 20.10.2018, 16:57 --

:D продублировал часть вашего сообщения

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 1 + x + x^2 + x^3 не является квадратом
Сообщение20.10.2018, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
То есть для нечетных $n$ число решений конечно. Правильно ли я понимаю что пороговое $x=n-2$? Сами-то квадраты можно не выписывать. И что насчет четных $n$, подобные ограничения не проходят?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 1 + x + x^2 + x^3 не является квадратом
Сообщение21.10.2018, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1347951 писал(а):
... насчет четных $n$
Для $n=4$ доказано, что $f(7,4)=20^2$ единственное решение. Осталось доказать $f(x,2k)\neq y^2$ для $x>1,\ k>2.\ \ f(x,2k)=\dfrac{x^{2k}-1}{x-1}=\dfrac{(x^k)^2-1}{x-1}=$ $$ (x^k+1)\cdot \dfrac{x^k-1}{x-1}=y^2.$$ При четном $x$ оба множителя целые вз. простые числа, и должны оказаться нечетными квадратами, но уравнение $x^k+1=z^2$ имеет только одно нетривиальное решение: $x=2,k=3,z=3$. Тогда другой множитель не квадрат. При нечетном $x$ оба множителя суть удвоенные квадраты, и опять же уравнение $x^k+1=2z^2$ имеет лишь конечное число решений, которые можно проверить. Если имеет.
Ну, а в случае нечетного $n$ каждое $x$, на сколько понял, проверяется за $x+2$ шага. Shadow молчит, а мне тоже лень этим заниматься 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 1 + x + x^2 + x^3 не является квадратом
Сообщение22.10.2018, 20:56 


11/10/18
28
Andrey A
Sonic86
Shadow
mihiv
Спасибо всем откликнувшимся за участие и детальные ответы! Полезно видеть несколько путей решения задачи, а многих фактов я вообще не знал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 1 + x + x^2 + x^3 не является квадратом
Сообщение23.10.2018, 01:01 


03/10/06
826
Если $d = 2$ и x нечётно, то из $x(x - 1) = 2(m - n)(m + n)$ , положив $x = m + n$ и $x - 1 = 2(m - n)$ получим
что $4n = x + 1$ . Так как также $x + 1 = 2n^2$, то $n = 2$ и значит $x = 7$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражение 1 + x + x^2 + x^3 не является квадратом
Сообщение23.10.2018, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
yk2ru в сообщении #1348457 писал(а):
из $x(x - 1) = 2(m - n)(m + n)$ , положив $x = m + n$ и $x - 1 = 2(m - n)$ получим...

Получим частное решение. Из $ab=cd$ вовсе не следует $a=c,b=d$. По-хорошему имеем линейную систему из 4-х уравнений плюс одно из исходных.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group