Диск с ленточками на плоскости

[gogoshik]

Ну, это, по-видимому, можно как-то выяснить. Я то открыт к диалогу. Да и вопрос не решен. Никто же не пишет, что все верно или что то не верно. Может кто-то сможет объяснить общий принцип, как вообще решаются подобные задачи. Может существует техника (методика) решения. Буду благодарен за объяснения.

[g______d]

Так вам же уже подсказали:

Munin в сообщении #1328888 писал(а):

Теорема Жордана

[gogoshik]

Я не думаю, что теорема Жордана тут прямо так вот и подходит. Не могли бы намекнуть, как Вы видите её применение в задаче? Теорема Жордана -- это утверждение о разбиении плоскости замкнутой кривой или ломанной на компоненты связности. Как этот факт применить к доказательству в задаче? Ну, да, граница диска (пусть в виде ломанной или кривой) c перекрещивающимися (и нет) ленточками разбивает плоскость на несколько компонент связности.

[g______d]

gogoshik в сообщении #1346035 писал(а):

Я не думаю, что теорема Жордана тут прямо так вот и подходит. Не могли бы намекнуть, как Вы видите её применение в задаче?

Ну разумеется не прямо так, но можно посмотреть внутреннюю часть границы одной ленточки и добавить к ней кусок границы диска, чтобы получилась замкнутая кривая. Если есть ленточка, с ней перекрещивающаяся, то у второй ленточки есть точки как внутри вышеописанной кривой, так и вне. Следовательно, где-то будет пересечена кривая.

Это рассуждение можно записать более аккуратно, если более аккуратно поставить исходную задачу.

-- Сб, 13 окт 2018 17:39:21 --

Да, а то, что в случае отсутствия перекручиваний можно вырезать -- доказывается, например, по индукции. Сначала берёте одну ленточку, внутри которой нет другой ленточки, и описываете явно, как будете её вырезать (можно даже формулу написать). Потом можно сказать, что если из плоскости выкинуть исходный диск, ленточку, и оставить только неограниченную связную компоненту, то она будет гомеоморфна плоскости с выкинутым диском, поэтому можно повторить рассуждение для следующей ленточки.

[alcoholist]

(Оффтоп)

кажется, такие диски с ленточками были в книжке Столлингса

[gogoshik]

g______d, благодарю за идею!
Ну, как понимаю, здесь не может быть единственного верного решения. Я хотел начать с рассмотрения квадрата, многоугольника. Совместить его центр с центром диска. И потом отождествить ломаные проходящие через центр и вершины квадрата и внутренности ленточек с самими ленточками. В случае перекрещивания двух ленточек ломаные будут проходить через противоположные вершины квадрата, иначе через смежные. Далее применить лемму о пересечении.

alcoholist, на книжной полке у меня есть эта книга. Посмотрю. Спасибо.

-- 14.10.2018, 13:52 --

Т.е. у меня есть книга Масси, Столлингса по алгетопу. Вы же про неё пишите?

[alcoholist]

gogoshik в сообщении #1346127 писал(а):

Вы же про неё пишите?

Да, Масси, 1 глава, 5-12

[Munin]

А можно без таинственности, авторы, название?

[gogoshik]

alcoholist в сообщении #1346428 писал(а):

gogoshik в сообщении #1346127 писал(а):

Вы же про неё пишите?

Да, Масси, 1 глава, 5-12

Как Вы думаете, а зачем понадобилось Масси описывать модели поверхностей с краем на примере дисков с ленточками? Далее в книге, вроде, никак это не используется.

[alcoholist]

Munin

gogoshik в сообщении #1346127 писал(а):

Масси, Столлингса по алгетопу

расшифровываю: Алгебраическая топология.
Два автора, но не соавтора, как Милнор-Уоллес

-- Ср окт 17, 2018 07:03:25 --

gogoshik в сообщении #1346820 писал(а):

Как Вы думаете, а зачем понадобилось Масси описывать модели поверхностей с краем на примере дисков с ленточками?

Это наглядная модель для многообразий с краем. Сразу видно, что фундаментальная группа свободна. Легко анализировать связные суммы по краю. И соотношения удобно писать, когда дырку будем диском заклеивать

[gogoshik]

Апдейт темы.

Прошу помочь, плиз, разобраться с очередным доказательством утверждения.

Утверждение. Диск с четырьмя ленточками, соответствующий слову $(ababcdcd)$ нельзя вырезать из тора.

Доказательство разбиралось на занятии, но выглядело сумбурно и не полно. Вот примерно такие были рассуждения.

Предположим, напротив, что диск с ленточками можно вырезать из тора. Тогда на торе можно выбрать две точки которые будут в разных компонентах. Если эти точки соединить ломаной, то она будет перескать границу диска с ленточками. Но любые две точки близкие к границе можно соединить кривой не пересекающей эту границу. Это легко показать. Достаточно взять две точки $x, y$ в окрестности границы. Далее $x$ соединить c ближайшей точкой границы и двигаясь по границе перейти в окрестность точки $y$. Потом соединить конечную точку пути на границе с точкой $y$.