Простейшая задача вариационного исчисления

[artey]

Здравствуйте, нужна помощь в решении простейшей задачи вариационного исчисления $\int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}dt \to extr;x(0) = 1,x(1) = \sqrt 2 }$.

Уравнение Эйлера: $\[ - 2x({{\dot x}^2} + x\ddot x) = 0\] $
Общее решение: $\[x = \sqrt {2({C_1}t + {C_2})} \]$ ,$\[{C_1} = {C_2} = \frac{1}{2}\]$
Единственная допустимая экстремаль: $\[\widehat x = \sqrt {t + 1} \]$.
В задачнике - в ответах говорится, что $\[\widehat x = \sqrt {t + 1} \in abs\min ,{S_{\max }} = + \infty \]$. Указание. При доказательстве минимальности можно воспользоваться тем, что $\[{(x\dot x)^2} = {(\frac{d}{{dt}}\frac{{{x^2}}}{2})^2}\]$. Только я не совсем понимаю, как этим воспользоваться.

[VanD]

Наверно предлагается для каждой кривой $\gamma(t) = x(t)$ рассмотреть величину $\dfrac{x^2(t)}{2} = y_\gamma(t)$ и искать среди них хорошую кривую, обозначив $z_\gamma(t) = y_\gamma(t) - \dfrac{t+1}{2}$. Тогда если найдёте $z_\gamma(t)$ для хорошей кривой, то и получите требуемое.

[thething]

artey
Запишите определение глобального минимума (в виде разности двух интегралов), воспользуйтесь указанием, формулой разности квадратов, дальше очевидные преобразования дадут неотрицательный интеграл.

[artey]

thething в сообщении #1346349 писал(а):

artey
Запишите определение глобального минимума (в виде разности двух интегралов), воспользуйтесь указанием, формулой разности квадратов, дальше очевидные преобразования дадут неотрицательный интеграл.

То есть вот так: $\[I(x + h) - I(x) = \int\limits_0^1 {{{(x + h)}^2}{{(\dot x + \dot h)}^2}} dt - \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt\]$ ?
thething, под очевидными преобразованиями вы подразумеваете интегрирование по частям?

[thething]

До очевидных преобразований я посоветовал сделать три вещи, Вы же сделали только одну.

[artey]

Так: $\[I(x + h) - I(x) = \int\limits_0^1 {{{(x + h)}^2}{{(\dot x + \dot h)}^2}} dt - \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt = \int\limits_0^1 {{{(\frac{d}{{dt}}\frac{{{x^2}}}{2} + x\dot h + \dot xh + h\dot h)}^2}} dt - \int\limits_0^1 {{{(\frac{d}{{dt}}\frac{{{x^2}}}{2})}^2}} dt = \int\limits_0^1 {(x\dot h + \dot xh + h\dot h)(2\frac{d}{{dt}}\frac{{{x^2}}}{2}} + x\dot h + \dot xh + h\dot h)dt\]$ ?
Какой дальнейший ход решения?

[thething]

Сперва воспользуйтесь указанием в задачнике, а потом разность квадратов!
Пока что вообще непонятно, что у Вас написано. Не забывайте что разность производных превращается в производную разности.

[artey]

thething в сообщении #1346617 писал(а):

Сперва воспользуйтесь указанием в задачнике, а потом разность квадратов!
Пока что вообще непонятно, что у Вас написано. Не забывайте что разность производных превращается в производную разности.

Воспользовался указанием:
$\[\int\limits_0^1 {{{(\frac{d}{{dt}}\frac{{{x^2}}}{2} + x\dot h + \dot xh + h\dot h)}^2}} dt - \int\limits_0^1 {{{(\frac{d}{{dt}}\frac{{{x^2}}}{2})}^2}} dt\]$
Разность квадратов:
$\[\int\limits_0^1 {(x\dot h + \dot xh + h\dot h)(2\frac{d}{{dt}}\frac{{{x^2}}}{2}} + x\dot h + \dot xh + h\dot h)dt\]$

Вообще изначально я делал так:
$\[I(x + h) - I(x) = \int\limits_0^1 {{{(x + h)}^2}{{(\dot x + \dot h)}^2}} dt - \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt = \int\limits_0^1 {({x^2} + 2xh + {h^2})({{\dot x}^2} + 2\dot x\dot h + {{\dot h}^2})} dt - \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt = \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt + \int\limits_0^1 {2{x^2}\dot x} \dot hdt + \int\limits_0^1 {{x^2}} {\dot h^2}dt + \int\limits_0^1 {2x} {\dot x^2}hdt + \int\limits_0^1 {4x\dot xh} \dot hdt + \int\limits_0^1 {2xh} {\dot h^2}dt + \int\limits_0^1 {{{\dot x}^2}{h^2}} dt + \int\limits_0^1 {2\dot x\dot h{h^2}} dt + \int\limits_0^1 {{{\dot h}^2}{h^2}} dt - \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt\]$
Только дальше тупик. Есть подозрение, что если как-то преобразовать, то в каком-то интеграле окажется уравнение Эйлера и он обнулится.

[EUgeneUS]

artey
меня гложут смутные сомнения, что потеряв "крышечку" над иксом, вы потеряли смысл жизни выполняемых действий.

1. Вы нашли экстремаль. Теперь надо доказать, что она доставляет минимум функционалу.
2. Для этого мы добавляем к найденной экстремали любую достаточно хорошую $h$, такую что $h(0)=h(1)=0$ (1), и доказываем, что функционал не может уменьшиться.
3. То есть в разности интегралов работаем не с какой-то абстрактной $x(t)$, а с вполне конкретной

artey в сообщении #1346272 писал(а):

$\[\widehat x = \sqrt {t + 1} \]$

4. При этом легко видеть, что $2 \frac{d}{dt} \frac{\hat{x}^2}{2} \equiv 1$
5. Далее нужно из оставшегося собрать полную производную по времени от какого-то агрегата от $h(t)$, которая из-за свойства (1) после интегрирования даст ноль, и какой-то заведомо неотрицательный интеграл.

FGJ, п.5 пока не сделал, но должно получиться.
UPD: сделал п.5. Всё там просто до тривиальности.

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1346650 писал(а):

artey
меня гложут смутные сомнения, что потеряв "крышечку" над иксом, вы потеряли смысл жизни выполняемых действий.
3. То есть в разности интегралов работаем не с какой-то абстрактной $x(t)$, а с вполне конкретной

artey в сообщении #1346272 писал(а):

$\[\widehat x = \sqrt {t + 1} \]$

Это я понимаю, просто не стал писать крышечку, так как не нашел,как оформить запись "x c крышечкой и сверху точка".

EUgeneUS в сообщении #1346650 писал(а):

5. Далее нужно из оставшегося собрать полную производную по времени от какого-то агрегата от $h(t)$, которая из-за свойства (1) после интегрирования даст ноль, и какой-то заведомо неотрицательный интеграл.

Вот этот момент, не понял. То есть в этой записи $\[I(x + h) - I(x) = \int\limits_0^1 {{{(x + h)}^2}{{(\dot x + \dot h)}^2}} dt - \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt = \int\limits_0^1 {({x^2} + 2xh + {h^2})({{\dot x}^2} + 2\dot x\dot h + {{\dot h}^2})} dt - \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt = \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt + \int\limits_0^1 {2{x^2}\dot x} \dot hdt + \int\limits_0^1 {{x^2}} {\dot h^2}dt + \int\limits_0^1 {2x} {\dot x^2}hdt + \int\limits_0^1 {4x\dot xh} \dot hdt + \int\limits_0^1 {2xh} {\dot h^2}dt + \int\limits_0^1 {{{\dot x}^2}{h^2}} dt + \int\limits_0^1 {2\dot x\dot h{h^2}} dt + \int\limits_0^1 {{{\dot h}^2}{h^2}} dt - \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt\]$ все интегралы, в которых присутствует $h$ без точки равны 0 в силу свойства (1)? И надо провести преобразования с оставшимися?

EUgeneUS в сообщении #1346650 писал(а):

UPD: сделал п.5. Всё там просто до тривиальности.

Можете, пожалуйста, показать, что у вас получилось.

[EUgeneUS]

artey в сообщении #1346657 писал(а):

Вот этот момент, не понял.

Судя по дальнейшему тексту, Вы действительно не поняли. Это печально.
Подумаю, как ещё объяснить. А пока

1.

artey в сообщении #1346657 писал(а):

То есть в этой записи

Забудьте по эту запись. Вспомните, что у Вас получилось после использования формулы разности квадратов.

2.

artey в сообщении #1346657 писал(а):

все интегралы, в которых присутствует $h$ без точки равны 0 в силу свойства (1)? И надо провести преобразования с оставшимися?

Нет, не все, конечно!

3. вот такие штуки $\dot{x}h + \dot{h}x$ и $\dot{h}h$ Вам ничего не напоминают?

[thething]

artey в сообщении #1346632 писал(а):

Воспользовался указанием:
$\[\int\limits_0^1 {{{(\frac{d}{{dt}}\frac{{{x^2}}}{2} + x\dot h + \dot xh + h\dot h)}^2}} dt - \int\limits_0^1 {{{(\frac{d}{{dt}}\frac{{{x^2}}}{2})}^2}} dt\]$

Вот это как получилось? Откуда такие страшные выражения? У Вас должна быть разность квадратов двух производных, превращающаяся в две скобки. Одна сворачивается в производную суммы, вторая -- в производную разности. Внутри этих производных что-то сокращается, что-то приводится. Дойдите до этого момента, потом посмотрим. Зачем Вы делаете так

artey в сообщении #1346632 писал(а):

Вообще изначально я делал так:
$\[I(x + h) - I(x) = \int\limits_0^1 {{{(x + h)}^2}{{(\dot x + \dot h)}^2}} dt - \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt = \int\limits_0^1 {({x^2} + 2xh + {h^2})({{\dot x}^2} + 2\dot x\dot h + {{\dot h}^2})} dt - \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt = \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt + \int\limits_0^1 {2{x^2}\dot x} \dot hdt + \int\limits_0^1 {{x^2}} {\dot h^2}dt + \int\limits_0^1 {2x} {\dot x^2}hdt + \int\limits_0^1 {4x\dot xh} \dot hdt + \int\limits_0^1 {2xh} {\dot h^2}dt + \int\limits_0^1 {{{\dot x}^2}{h^2}} dt + \int\limits_0^1 {2\dot x\dot h{h^2}} dt + \int\limits_0^1 {{{\dot h}^2}{h^2}} dt - \int\limits_0^1 {{x^2}{{\dot x}^2}} dt\]$

загадка.

-- 16.10.2018, 13:56 --

В первом из интегралов должно быть $\left(\frac{d}{dt}\frac{(x+h)^2}{2}\right)^2$, а не то, что у Вас.

[EUgeneUS]

thething в сообщении #1346675 писал(а):

В первом из интегралов должно быть $\left(\frac{d}{dt}\frac{(x+h)^2}{2}\right)^2$, а не то, что у Вас.

FGJ, ТС, "разобрав" $\left(\frac{d}{dt}\frac{(x+h)^2}{2}\right)^2$ в первом интеграле, получил довольно правильный промежуточный вариант:

artey в сообщении #1346632 писал(а):

Разность квадратов:
$\[\int\limits_0^1 {(x\dot h + \dot xh + h\dot h)(2\frac{d}{{dt}}\frac{{{x^2}}}{2}} + x\dot h + \dot xh + h\dot h)dt\]$

вот только обратно "собрать" у него не получается...

-- 16.10.2018, 13:56 --

artey

Если записать разность интегралов, как предлагает уважаемый thething:

$I(\hat{x}+h) - I(\hat{x}) = \int\limits_{0}^{1} (\frac{d}{dt} \frac{(\hat{x}+h)^2}{2})^2 dt- \int\limits_{0}^{1} (\frac{d}{dt} \frac{\hat{x}^2}{2})^2 dt$
Тогда природная лень не должна позволить брать производные лишний раз (чтобы потом опять в получившемся увидеть производные)
И вместо вот этого:

artey в сообщении #1346632 писал(а):

Разность квадратов:
$\[\int\limits_0^1 {(x\dot h + \dot xh + h\dot h)(2\frac{d}{{dt}}\frac{{{x^2}}}{2}} + x\dot h + \dot xh + h\dot h)dt\]$

Вы увидите вот это (что есть тоже самое, только в профиль - так виднее)

$\int\limits_{0}^{1} [\frac{d}{dt}(\hat{x}h+\frac{h^2}{2})][\frac{d}{dt}\hat{x}^2+\frac{d}{dt}(\hat{x}h+\frac{h^2}{2})]dt$

Дальше, всё еще не очевидно?

[thething]

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1346709 писал(а):

FGJ, ТС, "разобрав" $\left(\frac{d}{dt}\frac{(x+h)^2}{2}\right)^2$ в первом интеграле, получил довольно правильный промежуточный вариант:

Вот только вопрос (к ТС), зачем сперва разбирать, а потом мучительно собирать обратно? Ясно, что это на занятиях так показывали (на более простых примерах), но тут то вообще нерационально так делать.

-- 16.10.2018, 15:59 --

EUgeneUS в сообщении #1346709 писал(а):

Вы увидите вот это (что есть тоже самое, только в профиль - так виднее)

$\int\limits_{0}^{1} [\frac{d}{dt}(\hat{x}h+\frac{h^2}{2})][\frac{d}{dt}\hat{x}^2+\frac{d}{dt}(\hat{x}h+\frac{h^2}{2})]dt$

Дальше, всё еще не очевидно?

Ну вот, пришел поручик и всё испортил))

[EUgeneUS]

thething

(Оффтоп)

thething в сообщении #1346716 писал(а):

Вот только вопрос (к ТС), зачем сперва разбирать, а потом мучительно собирать обратно?

Знаю ответ
Потому что природная лень заставляет вместо $\frac{d}{dt}$ писать точки.
Точку, конечно, поставить можно $\dot{(x+h)^2}$, но выглядит крайне непривычно.
Кстати, если над иксом поставить крышку, то уже глючить начинает.