Простейшая задача вариационного исчисления

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1346709 писал(а):

$\int\limits_{0}^{1} [\frac{d}{dt}(\hat{x}h+\frac{h^2}{2})][\frac{d}{dt}\hat{x}^2+\frac{d}{dt}(\hat{x}h+\frac{h^2}{2})]dt$

Дальше, всё еще не очевидно?

Так:
$\[\int\limits_0^1 {\left[ {\frac{d}{{dt}}(\sqrt {t + 1} h + \frac{{{h^2}}}{2})} \right]\left[ {\frac{d}{{dt}}(t + 1) + \frac{d}{{dt}}(\sqrt {t + 1} h + \frac{{{h^2}}}{2})} \right]} dt = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{d}{{dt}}(\sqrt {t + 1} h + \frac{{{h^2}}}{2})} \right]\left[ {1 + \frac{d}{{dt}}(\sqrt {t + 1} h + \frac{{{h^2}}}{2})} \right]} dt =\int\limits_0^1 {\left[ {\frac{d}{{dt}}(\sqrt {t + 1} h + \frac{{{h^2}}}{2})} \right]d} t + \int\limits_0^1 {{{\left[ {\frac{d}{{dt}}(\sqrt {t + 1} h + \frac{{{h^2}}}{2})} \right]}^2}d} t\]$ ?

[EUgeneUS]

artey
Сначала скажу, что Вы традиционно усложнили себе жизнь, подставив выражение для экстремали вообще везде, а не только там, где было нужно.
Ну да ладно. Как бы то ни было, получили сумму двух нужных определенных интегралов.
Что Вы можете сказать о каждом из них?
Если сразу не видно, введите обозначение: $\sqrt {t + 1} h + \frac{{{h^2}}}{2} = F(t)$

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1346843 писал(а):

artey
Сначала скажу, что Вы традиционно усложнили себе жизнь, подставив выражение для экстремали вообще везде, а не только там, где было нужно.

А куда надо было подставить?

EUgeneUS в сообщении #1346843 писал(а):

Что Вы можете сказать о каждом из них?
Если сразу не видно, введите обозначение: $\sqrt {t + 1} h + \frac{{{h^2}}}{2} = F(t)$

$\[\int\limits_0^1 {\frac{d}{{dt}}F(t)} dt + \int\limits_0^1 {{{\left[ {\frac{d}{{dt}}F(t)} \right]}^2}} dt = F(1) + {F^2}(1) = (\sqrt 2 h(1) + \frac{{{h^2}(1)}}{2}) + {(\sqrt 2 h(1) + \frac{{{h^2}(1)}}{2})^2} = 0\]$
по свойству $\[h(0) = h(1) = 0\]$ Верно?

[EUgeneUS]

artey в сообщении #1346970 писал(а):

А куда надо было подставить?

Достаточно было воспользоваться только этим:

EUgeneUS в сообщении #1346650 писал(а):

4. При этом легко видеть, что $2 \frac{d}{dt} \frac{\hat{x}^2}{2} \equiv 1$

artey в сообщении #1346970 писал(а):

Верно?

Нет, конечно.
1. Сумма интегралов не равна нулю.
2. Интеграл от квадрата производной функции не равен квадрату функции.
3. Как вычисляется определенный интеграл, при известном неопределенном (при известной первообразной)?

Предлагаю, каждый интеграл из суммы рассматривать отдельно, так будет более понятно.

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1347012 писал(а):

3. Как вычисляется определенный интеграл, при известном неопределенном (при известной первообразной)?
Предлагаю, каждый интеграл из суммы рассматривать отдельно, так будет более понятно.

Свойство же есть: $\[{\left( {\int\limits_a^x {f(t)dt} } \right)^\prime } = f(x)\]$

EUgeneUS в сообщении #1347012 писал(а):

2. Интеграл от квадрата производной функции не равен квадрату функции.

А как тогда быть?

[EUgeneUS]

artey в сообщении #1347037 писал(а):

Свойство же есть: $\[{\left( {\int\limits_a^x {f(t)dt} } \right)^\prime } = f(x)\]$

Но у нас-то сейчас другой случай (в первом слагаемом суммы): не производная от интеграла с переменным пределом, а определенный интеграл (с фиксированными пределами) от производной.
Нам другое свойство надо. И называется это свойство "формула Ньютона-Лейбница". Также она называется основной теоремой анализа.
Запишите её, пожалуйста.

artey в сообщении #1347037 писал(а):

А как тогда быть?

По второму слагаемому суммы: посмотрите внимательно на подынтегральную функцию и скажите, каким свойством она обладает? А если подынтегральная функция обладает таким свойством, то каким свойством обладает определенный интеграл от неё?

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1347041 писал(а):

Нам другое свойство надо. И называется это свойство "формула Ньютона-Лейбница". Также она называется основной теоремой анализа.
Запишите её, пожалуйста.

$\[\int\limits_0^1 {\frac{d}{{dt}}F(t)dt = F(1) - F(0) = 0} \]$

EUgeneUS в сообщении #1347041 писал(а):

По второму слагаемому суммы: посмотрите внимательно на подынтегральную функцию и скажите, каким свойством она обладает? А если подынтегральная функция обладает таким свойством, то каким свойством обладает определенный интеграл от неё?

$\[{F(t)}\]$ -неотрицательная функция, определенный интеграл от нее $\[{ \geqslant 0}\]$
Правильно?

[EUgeneUS]

artey в сообщении #1347048 писал(а):

Правильно?

Теперь - да.
То есть мы доказали, что если $\hat{x}$ - найденная ранее экстремаль, а $h$ - любая "достаточно хорошая" функция, равная нулю на концах отрезка, то $I(\hat{x}+h) \geqslant I(\hat{x})
А значит экстремаль $\hat{x}$ доставляет функционалу минимум.

UPD: ну как так можно. И тут не без косяков.

artey в сообщении #1347048 писал(а):

$\[{F(t)}\]$ -неотрицательная функция, определенный интеграл от нее $\[{ \geqslant 0}\]$

$F(t)$ - как раз-то может принимать отрицательные значения (но не на концах отрезка, где она ноль), ничего не запрещает.
Под интегралом во втором слагаемом находится $\left[ \frac{d}{dt}F(t) \right]^2$, вот она точно неотрицательная.

[artey]

Спасибо.

artey в сообщении #1346272 писал(а):

В задачнике - в ответах говорится, что $\[\widehat x = \sqrt {t + 1} \in abs\min ,{S_{\max }} = + \infty \]$.

А как вот это $\[{S_{\max }} = + \infty \]$ получается?

[EUgeneUS]

artey
а как Вы понимаете, что именно получается? Что означает эта запись?

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1347086 писал(а):

artey
а как Вы понимаете, что именно получается? Что означает эта запись?

В лекциях, в примерах, где есть запись $\[{S_{\max}} = + \infty \]$, не объясняется, откуда она взялась, но есть пример где $\[{S_{\min }}\]$ вычисляется. То есть вычисляется исходный интеграл $\[\int\limits_0^1 {{{\widehat x}^2}} {\dot x^2}dt\]$. При $\[\widehat x = \sqrt {t + 1} \]$ у меня получилось, что $\[\int\limits_0^1 {{{\widehat x}^2}} {{\dot x}^2}dt = \frac{1}{4}\]$. Откуда взялось, $\[{S_{\max}} = + \infty \]$ понятия не имею.

[EUgeneUS]

Если не получается ставить точку над иксом с крышкой - не используйте крышку. Это лучше, чем для одного и того же (экстремали) будут разные обозначения, то с крышкой, то без.

Хорошо. Из объяснений видно, что $\[{S_{\min }}\]$ - это минимальное значение функционала.
Тогда следует ожидать, что $\[{S_{\max }}\]$ - это максимальное значение функционала.
Тогда следует ожидать, что обозначение $\[{S_{\max}} = + \infty \]$ - это обозначение того, что функционал не ограничен сверху.

Приведите определение, что означает "функционал не ограничен сверху" (вспомните, найдите в лекциях, в учебники, в гугле, в шпорах...)
Если не получится, то заполните пропуски в следующей фразе:

"$\forall$ ... $\exists$ ... $\Rightarrow$ ..."

[Someone]

Точку над крышкой можно поставить: \Dot{\Hat x}

$$\Dot{\Hat x}.$$

[artey]

EUgeneUS в сообщении #1347098 писал(а):

Приведите определение, что означает "функционал не ограничен сверху" (вспомните, найдите в лекциях, в учебники, в гугле, в шпорах...)
Если не получится, то заполните пропуски в следующей фразе:
"$\forall$ ... $\exists$ ... $\Rightarrow$ ..."

Загуглил:
Линейный функционал $f$, заданный на нормированном пространстве $L$, называется ограниченным, если существует такая постоянная $c>0$, что для всех элементов $\[x \in L\]$ выполняется неравенство $\[\left| {f(x)} \right| \leqslant cx\]$. Если указанной постоянной не существует, то $f$ называется неограниченным функционалом.

[EUgeneUS]

Хорошо.
1. У вас в неравенстве:

artey в сообщении #1347202 писал(а):

$\[\left| {f(x)} \right| \leqslant cx\]$

слева стоит число, а справа - элемент нормированного пространства. Нужно так:

$\left| {f(x)} \right| \leqslant c ||x||$

2. В данном определении говорится об ограниченности функционала, но в ответе речь об ограниченности его значений. Это все таки другое. Можно написать по аналогии так:

"Значения функционала $f$, заданного на пространстве $L$, ограничены сверху, если существует такая постоянная $C$, что для всех элементов $x \in L$ выполняется неравенство $f(x) < C$"

3. То есть чтобы доказать

artey в сообщении #1347090 писал(а):

$\[{S_{\max}} = + \infty \]$

нужно доказать, что такой константы не существует.

Какие у Вас дальнейшие мысли?