2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система уравнений
Сообщение21.07.2008, 16:56 


02/08/06
63
Найти все решения в целых числах системы двух уравнений $x+y+z=3$ , $x^3+y^3+z^3=3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений
Сообщение21.07.2008, 17:38 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
икс и грек писал(а):
Найти все решения в целых числах системы двух уравнений $x+y+z=3$ , $x^3+y^3+z^3=3$.


$ x+y = 3-z, \ (x+y)((x+y)^2-3xy) = 3-z^3 $,
$ (3-z)^3 - (3-z)xy = 3-z^3 $,
$ xy = 3z + \frac{8}{z-3} $.
Поскольку xy целое, z-3 (а также x-3 и y-3) должно делить 8.
Дальнейшее просто.
Ответ: (1,1,1), (4,4,-5), (4,-5,4), (-5,4,4)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.07.2008, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Я делал несколько иначе (z к чёрту, потом квадратное уравнение на x и перебор некоторых целых y), поэтому наткнулся ещё на $(-1,2+i,2-i)$
(а Гауссовы целые берёте? почём? нет? ну, ладно...)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.07.2008, 17:44 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Получаем, что $\sigma_3=3a-8, \sigma_2=a$. Соответственно $x,y,z$ целочисленные корни многочлена $t^3-3t^2+at+8-3a=0$. Так как корни делители свободного члена, то $3-t|8$, т.е. корнями могут быть только $t=11,a=-12,t=7,a=-9,t=5,a=-9,t=4,a=-12,t=2,a=6,t=1,a=3,t=-1,a=3,t=-5,a=6$. Соответственно при $a=-12,-9,3,6$ два корня нашли, третий есть 3- сумма двух.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.07.2008, 17:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
кстати, (1; 1; 1) при положительных $x,y,z$ -- вообще единственное вещественное решение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group