2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система уравнений
Сообщение21.07.2008, 16:56 


02/08/06
63
Найти все решения в целых числах системы двух уравнений $x+y+z=3$ , $x^3+y^3+z^3=3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система уравнений
Сообщение21.07.2008, 17:38 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
икс и грек писал(а):
Найти все решения в целых числах системы двух уравнений $x+y+z=3$ , $x^3+y^3+z^3=3$.


$ x+y = 3-z, \ (x+y)((x+y)^2-3xy) = 3-z^3 $,
$ (3-z)^3 - (3-z)xy = 3-z^3 $,
$ xy = 3z + \frac{8}{z-3} $.
Поскольку xy целое, z-3 (а также x-3 и y-3) должно делить 8.
Дальнейшее просто.
Ответ: (1,1,1), (4,4,-5), (4,-5,4), (-5,4,4)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.07.2008, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Я делал несколько иначе (z к чёрту, потом квадратное уравнение на x и перебор некоторых целых y), поэтому наткнулся ещё на $(-1,2+i,2-i)$
(а Гауссовы целые берёте? почём? нет? ну, ладно...)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.07.2008, 17:44 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Получаем, что $\sigma_3=3a-8, \sigma_2=a$. Соответственно $x,y,z$ целочисленные корни многочлена $t^3-3t^2+at+8-3a=0$. Так как корни делители свободного члена, то $3-t|8$, т.е. корнями могут быть только $t=11,a=-12,t=7,a=-9,t=5,a=-9,t=4,a=-12,t=2,a=6,t=1,a=3,t=-1,a=3,t=-5,a=6$. Соответственно при $a=-12,-9,3,6$ два корня нашли, третий есть 3- сумма двух.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.07.2008, 17:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
кстати, (1; 1; 1) при положительных $x,y,z$ -- вообще единственное вещественное решение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vicvolf


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group