Система уравнений

[икс и грек]

Найти все решения в целых числах системы двух уравнений $x+y+z=3$ , $x^3+y^3+z^3=3$.

[VAL]

икс и грек писал(а):

Найти все решения в целых числах системы двух уравнений $x+y+z=3$ , $x^3+y^3+z^3=3$.

$ x+y = 3-z, \ (x+y)((x+y)^2-3xy) = 3-z^3 $,
$ (3-z)^3 - (3-z)xy = 3-z^3 $,
$ xy = 3z + \frac{8}{z-3} $.
Поскольку xy целое, z-3 (а также x-3 и y-3) должно делить 8.
Дальнейшее просто.
Ответ: (1,1,1), (4,4,-5), (4,-5,4), (-5,4,4)

[ИСН]

Я делал несколько иначе (z к чёрту, потом квадратное уравнение на x и перебор некоторых целых y), поэтому наткнулся ещё на $(-1,2+i,2-i)$
(а Гауссовы целые берёте? почём? нет? ну, ладно...)

[Руст]

Получаем, что $\sigma_3=3a-8, \sigma_2=a$. Соответственно $x,y,z$ целочисленные корни многочлена $t^3-3t^2+at+8-3a=0$. Так как корни делители свободного члена, то $3-t|8$, т.е. корнями могут быть только $t=11,a=-12,t=7,a=-9,t=5,a=-9,t=4,a=-12,t=2,a=6,t=1,a=3,t=-1,a=3,t=-5,a=6$. Соответственно при $a=-12,-9,3,6$ два корня нашли, третий есть 3- сумма двух.

[ewert]

кстати, (1; 1; 1) при положительных $x,y,z$ -- вообще единственное вещественное решение