2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Правильно ли я посчитал DOS?
Сообщение02.10.2018, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1960
Внутри ускорителя
Добрый день.

Прошу прощения за беспокойство. Поскольку я не работал до это с плотностью состояний (DOS, density of states), прошу проверить вывод.
Выкладки я основывал на обучающей статье https://doi.org/10.1119/1.4867489.

Допустим, у меня есть система, в которой уровни энергии имеют вид $E_n \propto \sqrt{n}$, где n--номер уровня. Считая n непрерывным, получается следующее выражение номера уровня от энергии $n(E) \propto E^2$, следовательно функция числа уровней при энергии $E$ имеет вид:
$\mathcal{N}(E) = \int_0^E  n(\epsilon) d\epsilon \propto \int_0^E  \epsilon^2 d\epsilon \propto \epsilon^3 $, а следовательно DOS будет иметь вид:
$\operatorname{DOS}(E) = \frac{d \mathcal{N}(E)}{dE} \propto \epsilon^2 $.
Не напутал ли я в степени $\mathcal{N}(E)$, т.к. мне не нужно интегрирование? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильно ли я посчитал DOS?
Сообщение02.10.2018, 15:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9408
Hogtown
madschumacher в сообщении #1343214 писал(а):
Не напутал ли я в степени
РАзумеется напутали Вы.

Смотрите, если $n(E)= E^2$, то ниже $E$ лежит $E^2$ энергетических уровней и потому IDS будет $E^2$, a IDS, соответсвенно $2E$.

На самом деле это никакая не DS, а (вроде термина нет) ADS, т.е. усредненная плотность состояний. Т.е. если Вы возьмете интервал $[E, E']$ с $E^{-1}\ll E'-E\ll E$, то на этом интервале будет примерно $2E (E'-E)$ собственных значений. А подлинная DS (т.е. производная от $n(E)$) будет $\sum_n \delta(E-E_n)$.

Но главное в том, что и IDS, и DS вводятся не так, и не тогда. Допустим у нас есть оператор во всем пространстве, причем спектр у него "в основном" непрерывный. Выделим в пространстве большую область (например, куб) $Q$, поставим на границе граничные условия и посчитаем $N(E, Q)$--число состояний ниже $E$ для такого оператора (у него спектр стал дискретным) и затем возьмем предел
$$
n(E)=\lim \frac{N(E,Q)}{|Q|},$$
где $|Q|$ объем $Q$, когда $Q$ расширяется до всего пространства. Это будет IDS, а производная от нее DS.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильно ли я посчитал DOS?
Сообщение02.10.2018, 15:46 
Заслуженный участник


21/08/10
2046
madschumacher в сообщении #1343214 писал(а):
$\operatorname{DOS}(E) = \frac{d \mathcal{N}(E)}{dE} \propto \epsilon^2 $.



Ой, как сложно.... А на самом деле:

$$
n(E) \sim E^2
$$

$$
dn \sim dE^2=2EdE 
$$

$$
D(E)=\frac{dn}{dE} \sim E
$$

Все.

На самом деле у Вас лишнее интегрирование. Всего целых чисел в интервале от 0 до $n$ (т.е. число уровней с энергией от нуля до $E(n)$) (с точностью плюс-минус единица) это $n$ и есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильно ли я посчитал DOS?
Сообщение02.10.2018, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1960
Внутри ускорителя
Red_Herring в сообщении #1343219 писал(а):
РАзумеется напутали Вы.

Смотрите, если $n(E)= E^2$, то ниже $E$ лежит $E^2$ энергетических уровней и потому IDS будет $E^2$, a IDS, соответсвенно $2E$.

Спасибо большое. Получается, что грубая оценка числа состояний при энергии $E$ -- это тупо $\operatorname{DOS}(E) \propto E$, правильно?

Alex-Yu в сообщении #1343229 писал(а):
Все.

Спасибо. В этом я и сомневался, но всё равно кололся и жевал кактус тупо следовал неправильно мною интепретированному алгоритму. :facepalm:

Спасибо ещё раз Всем большое! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильно ли я посчитал DOS?
Сообщение02.10.2018, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9408
Hogtown
Alex-Yu в сообщении #1343229 писал(а):
(с точностью плюс-минус единица)
Это если с.з. простые, если же они кратные, то вместо 1 будет как раз кратность соответствующего с.з.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильно ли я посчитал DOS?
Сообщение03.10.2018, 13:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9408
Hogtown
madschumacher в сообщении #1343233 писал(а):
Получается, что грубая оценка числа состояний при энергии $E$ -- это тупо $\operatorname{DOS}(E) \propto E$, правильно?

Нет. Грубая оценка числа собственных состояний в интервале $[E,E']$ будет $E (E'-E)$ , если этот интервал не слишком большой, но и не слишком маленький.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильно ли я посчитал DOS?
Сообщение03.10.2018, 19:48 
Заслуженный участник


21/08/10
2046
Red_Herring в сообщении #1343433 писал(а):
madschumacher в сообщении #1343233 писал(а):
Получается, что грубая оценка числа состояний при энергии $E$ -- это тупо $\operatorname{DOS}(E) \propto E$, правильно?

Нет. Грубая оценка числа собственных состояний в интервале $[E,E']$ будет $E (E'-E)$ , если этот интервал не слишком большой, но и не слишком маленький.



А это как раз и означает, что $D(E) \sim E$. $E'-E$ это и есть $dE$. На физическом уровне строгости. Число состояний в интервале $dE$ равно $D(E)dE$, просто по определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильно ли я посчитал DOS?
Сообщение03.10.2018, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9408
Hogtown
Alex-Yu в сообщении #1343478 писал(а):
Число состояний в интервале $dE$ равно $D(E)dE$, просто по определению.
Безусловно. Но ТС пишет про "число состояний при энергии $E$", и я не уверен, не понимает ли он это буквально

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group