Правильно ли я посчитал DOS?

[madschumacher]

Добрый день.

Прошу прощения за беспокойство. Поскольку я не работал до это с плотностью состояний (DOS, density of states), прошу проверить вывод.
Выкладки я основывал на обучающей статье https://doi.org/10.1119/1.4867489.

Допустим, у меня есть система, в которой уровни энергии имеют вид $E_n \propto \sqrt{n}$, где n--номер уровня. Считая n непрерывным, получается следующее выражение номера уровня от энергии $n(E) \propto E^2$, следовательно функция числа уровней при энергии $E$ имеет вид:
$\mathcal{N}(E) = \int_0^E n(\epsilon) d\epsilon \propto \int_0^E \epsilon^2 d\epsilon \propto \epsilon^3 $, а следовательно DOS будет иметь вид:
$\operatorname{DOS}(E) = \frac{d \mathcal{N}(E)}{dE} \propto \epsilon^2 $.
Не напутал ли я в степени $\mathcal{N}(E)$, т.к. мне не нужно интегрирование?

[Red_Herring]

madschumacher в сообщении #1343214 писал(а):

Не напутал ли я в степени

РАзумеется напутали Вы.

Смотрите, если $n(E)= E^2$, то ниже $E$ лежит $E^2$ энергетических уровней и потому IDS будет $E^2$, a IDS, соответсвенно $2E$.

На самом деле это никакая не DS, а (вроде термина нет) ADS, т.е. усредненная плотность состояний. Т.е. если Вы возьмете интервал $[E, E']$ с $E^{-1}\ll E'-E\ll E$, то на этом интервале будет примерно $2E (E'-E)$ собственных значений. А подлинная DS (т.е. производная от $n(E)$) будет $\sum_n \delta(E-E_n)$.

Но главное в том, что и IDS, и DS вводятся не так, и не тогда. Допустим у нас есть оператор во всем пространстве, причем спектр у него "в основном" непрерывный. Выделим в пространстве большую область (например, куб) $Q$, поставим на границе граничные условия и посчитаем $N(E, Q)$--число состояний ниже $E$ для такого оператора (у него спектр стал дискретным) и затем возьмем предел

$$ n(E)=\lim \frac{N(E,Q)}{|Q|},$$

где $|Q|$ объем $Q$, когда $Q$ расширяется до всего пространства. Это будет IDS, а производная от нее DS.

[Alex-Yu]

madschumacher в сообщении #1343214 писал(а):

$\operatorname{DOS}(E) = \frac{d \mathcal{N}(E)}{dE} \propto \epsilon^2 $.

Ой, как сложно.... А на самом деле:

$$ n(E) \sim E^2 $$

$$ dn \sim dE^2=2EdE $$

$$ D(E)=\frac{dn}{dE} \sim E $$

Все.

На самом деле у Вас лишнее интегрирование. Всего целых чисел в интервале от 0 до $n$ (т.е. число уровней с энергией от нуля до $E(n)$) (с точностью плюс-минус единица) это $n$ и есть.

[madschumacher]

Red_Herring в сообщении #1343219 писал(а):

РАзумеется напутали Вы.

Смотрите, если $n(E)= E^2$, то ниже $E$ лежит $E^2$ энергетических уровней и потому IDS будет $E^2$, a IDS, соответсвенно $2E$.

Спасибо большое. Получается, что грубая оценка числа состояний при энергии $E$ -- это тупо $\operatorname{DOS}(E) \propto E$, правильно?

Alex-Yu в сообщении #1343229 писал(а):

Все.

Спасибо. В этом я и сомневался, но всё равно кололся и жевал кактус тупо следовал неправильно мною интепретированному алгоритму.

Спасибо ещё раз Всем большое!

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1343229 писал(а):

(с точностью плюс-минус единица)

Это если с.з. простые, если же они кратные, то вместо 1 будет как раз кратность соответствующего с.з.

[Red_Herring]

madschumacher в сообщении #1343233 писал(а):

Получается, что грубая оценка числа состояний при энергии $E$ -- это тупо $\operatorname{DOS}(E) \propto E$, правильно?

Нет. Грубая оценка числа собственных состояний в интервале $[E,E']$ будет $E (E'-E)$ , если этот интервал не слишком большой, но и не слишком маленький.

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1343433 писал(а):

madschumacher в сообщении #1343233 писал(а):

Получается, что грубая оценка числа состояний при энергии $E$ -- это тупо $\operatorname{DOS}(E) \propto E$, правильно?

Нет. Грубая оценка числа собственных состояний в интервале $[E,E']$ будет $E (E'-E)$ , если этот интервал не слишком большой, но и не слишком маленький.

А это как раз и означает, что $D(E) \sim E$. $E'-E$ это и есть $dE$. На физическом уровне строгости. Число состояний в интервале $dE$ равно $D(E)dE$, просто по определению.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1343478 писал(а):

Число состояний в интервале $dE$ равно $D(E)dE$, просто по определению.

Безусловно. Но ТС пишет про "число состояний при энергии $E$", и я не уверен, не понимает ли он это буквально