Не напутал ли я в степени
РАзумеется напутали Вы.
Смотрите, если

, то ниже

лежит

энергетических уровней и потому IDS будет

, a IDS, соответсвенно

.
На самом деле это никакая не DS, а (вроде термина нет) ADS, т.е. усредненная плотность состояний. Т.е. если Вы возьмете интервал
![$[E, E']$ $[E, E']$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/6/5f670a1825c525689407ef3cd898d65182.png)
с

, то на этом интервале будет примерно

собственных значений. А подлинная DS (т.е. производная от

) будет

.
Но главное в том, что и IDS, и DS вводятся не так, и не тогда. Допустим у нас есть оператор во всем пространстве, причем спектр у него "в основном" непрерывный. Выделим в пространстве большую область (например, куб)

, поставим на границе граничные условия и посчитаем

--число состояний ниже

для такого оператора (у него спектр стал дискретным) и затем возьмем предел

где

объем

, когда

расширяется до всего пространства. Это будет IDS, а производная от нее DS.