Зорич V.3.14

[Paul Ivanov]

Не могу разобраться с вводимым понятием конечной разности порядка $k$ функции $f$ в точке $x_0$, которое обозначается следующим образом:
$\Delta^1 f(x_0;h_1) = \Delta f(x_0;h_1)=f(x_0+h_1)-f(x_0)$
$\Delta^2 f(x_0;h_1,h_2)=\Delta \Delta f(x_0;h_1,h_2)=(f(x_0+h_1+h_2)$ $-f(x_0+h_2))-(f(x_0+h_1)-f(x_0))$
$\Delta ^k f(x_0;h_1,...,h_k)=\Delta ^{k-1} g_k(x_0;h_1,...,h_{k-1})$
$g_k(x)=\Delta^1 f(x_0;h_k)=f(x_0+h_k)-f(x_0)$
Прошу объяснить, каким образом определяется $\Delta^k$ и привести пример того, как определяется $\Delta^3$, так как я никакой закономерности не улавливаю и совершенно не понимаю как определяется $\Delta^k$.

[thething]

Попробуем в компактной записи, считая $f_i=f(x_0)$:
$\Delta f_i=f_{i+1}-f_i$

$\Delta\Delta f_i=\Delta(f_{i+1}-f_i)=(f_{i+2}-f_{i+1})-(f_{i+1}-f_i)$

$\Delta\Delta\Delta f_i=\Delta((f_{i+2}-f_{i+1})-(f_{i+1}-f_i))=((f_{i+3}-f_{i+2})-(f_{i+2}-f_{i+1}))-((f_{i+2}-f_{i+1})-(f_{i+1}-f_i))$
...

Т.е. результат предыдущего шага вычитаем из результата предыдущего шага с увеличенным на единицу индексом (и там, где идёт увеличение индекса на единицу -- происходит прибавление нового $h$).

[Otta]

Paul Ivanov
Первая дельта: приращение функции при приращении аргумента $h_1$.
Вторая дельта: $h_1$ фиксировано. Приращение первой дельты при при приращении аргумента $h_2$.
Третья дельта: фиксировали $h_1, h_2$. Смотрим приращение второй дельты при приращении аргумента $h_3$.

Попробуйте сами написать вторую (чтоб совпало) и третью.

[arseniiv]

Добавлю комплементарное:

Paul Ivanov
В формуле для $\Delta^2$ опечатались вы или кто-то из подготавливавщих учебник.

Смысл простой, но чтобы его увидеть, используем альтернативное обозначение $\Delta_h f(x) = f(x + h) - f(x)$. Применим теперь к $f$ несколько разных $\Delta_{h_1},\ldots,\Delta_{h_k}$ (сначала первую, потом вторую и т. д.) — это и будет $k$-я конечная разность $f$ с шагами $h_1,\ldots,h_k$, та, которая вас интересует.

В приложениях нередко все $h_i$ друг с другом совпадают, тогда их не упоминают явно и иногда даже считают равными 1 — в частности, для функций целочисленного аргумента такие более всего похожи на производную для функций вещественного аргумента.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Кстати Зорич тут может напугать излишней общностью, но при этом почему-то останавливается на полдороги, определив только опережающие конечные разности, но не запаздывающие.

[Paul Ivanov]

arseniiv, мне надо было убедиться, что тут ошибка. Ошибся не я, так написано в учебнике, значит перед тем как засомневался, я уловил идею правильно. Спасибо.

[Otta]

arseniiv в сообщении #1343287 писал(а):

В формуле для $\Delta^2$ опечатались

А где? Что-то не вижу я ((

[arseniiv]

$\Delta^2 f(x_0;h_1,h_2)=\Delta \Delta f(x_0;h_1,h_2)$ — второе выражение обозначает неизвестно что, тем более с введёнными определениями его в принципе нельзя записать, не используя лямбда-абстракцию (в виде $\mapsto$, конечно).

Вот определение для $\Delta^n$ избегает этой необходимости введением $g_k$* (но зачем $k$, кстати? используется-то только раз). Кстати заметил, что в формуле $g_k(x)=\Delta^1 f(x_0;h_k)=f(x_0+h_k)-f(x_0)$ тоже опечатка, нолик потерян у икса. Хотя я бы все нули везде поснимал здесь вообще.

* И это хороший ход, в функциональном программировании тоже лепить лямбда-выражения где попало не приветствуется.

А вот запись $\Delta_h f(x)$ позволяет считать $\Delta_h$ оператором, применяемым к функции и дающим функцию, что позволяет их совершенно спокойно цеплять один за другим. Странно, что Зорич выбрал такую неудобную даже для определений запись.

[Otta]

arseniiv в сообщении #1343356 писал(а):

второе выражение обозначает неизвестно что

А, тут. Тут я даже и смотреть не стала.