2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Зорич V.3.14
Сообщение02.10.2018, 17:39 


23/04/18
143
Не могу разобраться с вводимым понятием конечной разности порядка $k$ функции $f$ в точке $x_0$, которое обозначается следующим образом:
$\Delta^1 f(x_0;h_1) = \Delta f(x_0;h_1)=f(x_0+h_1)-f(x_0)$
$\Delta^2 f(x_0;h_1,h_2)=\Delta \Delta f(x_0;h_1,h_2)=(f(x_0+h_1+h_2)$ $-f(x_0+h_2))-(f(x_0+h_1)-f(x_0))$
$\Delta ^k f(x_0;h_1,...,h_k)=\Delta ^{k-1} g_k(x_0;h_1,...,h_{k-1})$
$g_k(x)=\Delta^1 f(x_0;h_k)=f(x_0+h_k)-f(x_0)$
Прошу объяснить, каким образом определяется $\Delta^k$ и привести пример того, как определяется $\Delta^3$, так как я никакой закономерности не улавливаю и совершенно не понимаю как определяется $\Delta^k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.14
Сообщение02.10.2018, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Попробуем в компактной записи, считая $f_i=f(x_0)$:
$\Delta f_i=f_{i+1}-f_i$

$\Delta\Delta f_i=\Delta(f_{i+1}-f_i)=(f_{i+2}-f_{i+1})-(f_{i+1}-f_i)$

$\Delta\Delta\Delta f_i=\Delta((f_{i+2}-f_{i+1})-(f_{i+1}-f_i))=((f_{i+3}-f_{i+2})-(f_{i+2}-f_{i+1}))-((f_{i+2}-f_{i+1})-(f_{i+1}-f_i))$
...

Т.е. результат предыдущего шага вычитаем из результата предыдущего шага с увеличенным на единицу индексом (и там, где идёт увеличение индекса на единицу -- происходит прибавление нового $h$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.14
Сообщение02.10.2018, 18:02 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Paul Ivanov
Первая дельта: приращение функции при приращении аргумента $h_1$.
Вторая дельта: $h_1$ фиксировано. Приращение первой дельты при при приращении аргумента $h_2$.
Третья дельта: фиксировали $h_1, h_2$. Смотрим приращение второй дельты при приращении аргумента $h_3$.

Попробуйте сами написать вторую (чтоб совпало) и третью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.14
Сообщение02.10.2018, 18:17 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Добавлю комплементарное:

Paul Ivanov
В формуле для $\Delta^2$ опечатались вы или кто-то из подготавливавщих учебник.

Смысл простой, но чтобы его увидеть, используем альтернативное обозначение $\Delta_h f(x) = f(x + h) - f(x)$. Применим теперь к $f$ несколько разных $\Delta_{h_1},\ldots,\Delta_{h_k}$ (сначала первую, потом вторую и т. д.) — это и будет $k$-я конечная разность $f$ с шагами $h_1,\ldots,h_k$, та, которая вас интересует.

В приложениях нередко все $h_i$ друг с другом совпадают, тогда их не упоминают явно и иногда даже считают равными 1 — в частности, для функций целочисленного аргумента такие более всего похожи на производную для функций вещественного аргумента.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Кстати Зорич тут может напугать излишней общностью, но при этом почему-то останавливается на полдороги, определив только опережающие конечные разности, но не запаздывающие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.14
Сообщение02.10.2018, 18:29 


23/04/18
143
arseniiv, мне надо было убедиться, что тут ошибка. Ошибся не я, так написано в учебнике, значит перед тем как засомневался, я уловил идею правильно. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.14
Сообщение02.10.2018, 20:22 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
arseniiv в сообщении #1343287 писал(а):
В формуле для $\Delta^2$ опечатались

А где? Что-то не вижу я ((

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.14
Сообщение02.10.2018, 22:22 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
$\Delta^2 f(x_0;h_1,h_2)=\Delta \Delta f(x_0;h_1,h_2)$ — второе выражение обозначает неизвестно что, тем более с введёнными определениями его в принципе нельзя записать, не используя лямбда-абстракцию (в виде $\mapsto$, конечно).

Вот определение для $\Delta^n$ избегает этой необходимости введением $g_k$* (но зачем $k$, кстати? используется-то только раз). Кстати заметил, что в формуле $g_k(x)=\Delta^1 f(x_0;h_k)=f(x_0+h_k)-f(x_0)$ тоже опечатка, нолик потерян у икса. Хотя я бы все нули везде поснимал здесь вообще.

* И это хороший ход, в функциональном программировании тоже лепить лямбда-выражения где попало не приветствуется.

А вот запись $\Delta_h f(x)$ позволяет считать $\Delta_h$ оператором, применяемым к функции и дающим функцию, что позволяет их совершенно спокойно цеплять один за другим. Странно, что Зорич выбрал такую неудобную даже для определений запись. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V.3.14
Сообщение02.10.2018, 22:30 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
arseniiv в сообщении #1343356 писал(а):
второе выражение обозначает неизвестно что

А, тут. Тут я даже и смотреть не стала.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group