Замечание в книге Арнольда про частную производную

[ioleg19029700]

На странице сто в учебнике "Обыкновенные дифференциальные уравнения" В.И. Арнольда есть такое замечание:
При работе с частными производными нужно твёрдо понимать, что в самом их обозначении кроется опасность: частная производная функции $f$ по $x_1$ зависит не только от того, какая функция в рассматриваемой области принята за координату $x_1$, но в ещё большей мере от того, как выбраны прочие координаты. Например, на плоскости с координатами $(x,y)$ частная производная $\partial f\over \partial x$ функции $y$ равная нулю, но частная производная $\partial f\over \partial x$ той же функции точки плоскости по той же переменной $x$ в системе координат $(x,z)$, где $z = x + y$, равна $-1$.
Я что-то совсем не понимаю смысла написанного. Как получаются разные значения частной производной по одной и той же первой переменной $x$? Мы как-то по разному относимся к обозначениям? Сначала как к числам, а в какой-то момент как к функциям? Может кто-нибудь сделать выкладки, из которых получаются два различных числа?

-- 29.09.2018, 19:46 --

Имеется ввиду следующее?
$f(x,y)=y\Rightarrow {\partial f\over \partial x} = {\partial y\over \partial x} = 0$ в $(x,y)$
$f(x,y)= y = z - x \Rightarrow {\partial f\over \partial x} = {\partial y\over \partial x} = -1$ в $(x,z)$ т.к. $z = x+y$, ну то есть отсюда и выразили, чтобы получить выражение для $y$

[demolishka]

Здесь имеется в виду вот что. Была некоторая функция $f$ от точки плоскости. На плоскости ввели координаты $(x,y)$ (например, декартовы) и нашу функцию в этих координатах удалось записать как $f(x,y)=y$. Теперь ввели другие координаты $(x,z)$, которые со старыми, т. е. с $(x,y)$, связаны так: $x$ такой же, а $z=x+y$. Тогда функция в координатах $(x,z)$ запишется как $f(x,z)=z-x$. Вот и получается, что

Цитата:

разные значения частной производной по одной и той же первой переменной $x$

Потому что понятие частной производной привязано к выбору координат.

[svv]

Вы находитесь в некоторой точке на плоскости. Теперь Вы начинаете увеличивать свою координату $x$ так, чтобы другая координата оставалась постоянной. Постарайтесь увидеть, что даже направление Вашего движения будет зависеть от того, как эта другая координата определена.