Задача "Посадка Овощей"

[PAV]

Если так, то я не точно понял условие. Я подумал, что требуется занять только пять грядок. Иначе непонятно; т.е. не требуется использовать все сорта? Можно, например, использовать только один сорт лука? Хорошо бы автор вопроса уточнил условие.

Обычно в подобных учебных задачах для получения ответа не требуется суммировать такие большие числа. Мне все-таки представляется, что автор задачи имел в виду мою трактовку.

[PaulS]

Возможно, что задача имеет более простое решение. Но численный ответ должен совподать с ранее предложенным. То что всего сортов должно быть пять и не меньше, это не вызывает сомнений. Ну а какой смысл чтобы пустовали оставшиеся грядки. Ведь условие задачи, по одному из правил, должно отвечать реальной действительности.
Как вы думаете?

[ewert]

PAV писал(а):

Если так, то я не точно понял условие. Я подумал, что требуется занять только пять грядок. Иначе непонятно; т.е. не требуется использовать все сорта? Можно, например, использовать только один сорт лука?

Это две разные переинтерпретации: 1) допустить неиспользуемые грядки и 2) допустить неиспользуемые сорта.

[PAV]

PaulS писал(а):

Ну а какой смысл чтобы пустовали оставшиеся грядки. Ведь условие задачи, по одному из правил, должно отвечать реальной действительности

Количество семян каждого сорта может быть только на одну грядку. А оставшиеся потом засадим клубникой.

Я не смотрел внимательно Ваше решение, но Вы в нем учиываете, что использовали все имеющиеся сорта хотя бы по разу?

[ewert]

PAV писал(а):

PaulS писал(а):

Ну а какой смысл чтобы пустовали оставшиеся грядки. Ведь условие задачи, по одному из правил, должно отвечать реальной действительности

Количество семян каждого сорта может быть только на одну грядку. А оставшиеся потом засадим клубникой.

Я не смотрел внимательно Ваше решение, но Вы в нем учиываете, что использовали все имеющиеся сорта хотя бы по разу?

Да. То, что вычитается -- это именно количества вариантов, в которых не все сорта задействованы.

Насчёт клубники -- в условии вроде бы определённо сказано, что клубника запрещена:

Цитата:

лук рядом с луком, морковь рядом с морковью, чтоб между ними ничего не росло больше

[PaulS]

PAV писал(а):

Я не смотрел внимательно Ваше решение, но Вы в нем учиываете, что использовали все имеющиеся сорта хотя бы по разу?

Да конечно. ewert правильно понял мое решение. Все сорта должны быть обязательно.[/b]

[PAV]

ewert писал(а):

Насчёт клубники -- в условии вроде бы определённо сказано, что клубника запрещена:

Цитата:

лук рядом с луком, морковь рядом с морковью, чтоб между ними ничего не росло больше

Ну тогда если и без того все грядки задействованы, то между ними вроде как ничего и не может расти по определению.

[ewert]

PaulS писал(а):

ewert правильно понял мое решение.

Между прочим -- строго говоря, как раз и не понял. Во-первых, первый раз вижу обозначение $\tilde A_n^k$. Во-вторых, по-моему, с индексами и пределами у Вас всё же некоторая путаница.

Добавлено спустя 2 минуты 37 секунд:

PAV писал(а):

ewert писал(а):

Насчёт клубники -- в условии вроде бы определённо сказано, что клубника запрещена:

Цитата:

лук рядом с луком, морковь рядом с морковью, чтоб между ними ничего не росло больше

Ну тогда если и без того все грядки задействованы, то между ними вроде как ничего и не может расти по определению.

Это, видимо, несколько неудачная формулировка требования: между луком не должна расти морковь, и наоборот.

[PAV]

Ну ладно, что тут обсуждать. Если автор вопроса сочтет нужным, то уточнит, какой вариант формулировки имелся в виду.

[PaulS]

ewert
По большому счету какой буквой я что обозначил не важно, главное я пояснил что это обозначение значит (нас так учили). А насчет путаницы мне не совсем понятно, что Вы имеете ввиду.

[ewert]

PaulS писал(а):

А насчет путаницы мне не совсем понятно, что Вы имеете ввиду.

Ну вот Ваша вроде последняя версия:

Цитата:

$2\sum\limits_{n=1}\limits^{8}(\tilde{A}_{2}^{2+n}-2)(\tilde{A}_{3}^{11-n}-3\tilde{A}_{2}^{11-n}+3)$, где $\tilde{A}_{n}^{k}$ - размещение с повторениями из n элементов по k

1). Почему восемь слагаемых, а не девять?

2). Если $\tilde{A}_{n}^{k}$ - это "из $n$ по $k$", то почему, например, $\tilde{A}_{2}^{2+n}$, а не наоборот?

3). Та же $\tilde{A}_{2}^{2+n}$. Это для лука. У Вас начальное слагаемое есть $\tilde{A}_{2}^{3}$. При чём тут 3?

[PaulS]

ewert писал(а):

PaulS писал(а):

Ну вот Ваша вроде последняя версия:

Цитата:

$2\sum\limits_{n=1}\limits^{8}(\tilde{A}_{2}^{2+n}-2)(\tilde{A}_{3}^{11-n}-3\tilde{A}_{2}^{11-n}+3)$, где $\tilde{A}_{n}^{k}$ - размещение с повторениями из n элементов по k

Цитата:

1). Почему восемь слагаемых, а не девять?

Здесь я с Вами согласен. В подробном виде у меня действительно 9 слагаемых. Видимо, когда сворачивал в сумму пропустил одно из них.
Формула будет выгдядеть следующим образом:
$2\sum\limits_{n=1}\limits^{9}(\tilde{A}_{2}^{1+n}-2)(\tilde{A}_{3}^{12-n}-3\tilde{A}_{2}^{12-n}+3)$

Цитата:

2). Если $\tilde{A}_{n}^{k}$ - это "из $n$ по $k$", то почему, например, $\tilde{A}_{2}^{2+n}$, а не наоборот?

Здесь нижний индекс обозначает число элементов которые учавствуют в размещении.

Цитата:

3). Та же $\tilde{A}_{2}^{2+n}$. Это для лука. У Вас начальное слагаемое есть $\tilde{A}_{2}^{3}$. При чём тут 3?

Здесь смотри пункт 1)

Кстати вот пересчитанный ответ: 2696952

Спасибо что указали мне на неточность. Буду признателен Вам, если Вы что-то еще заметите и мне сообщите.

[ewert]

PaulS писал(а):

Формула будет выгдядеть следующим образом:
$2\sum\limits_{n=1}\limits^{9}(\tilde{A}_{2}^{1+n}-2)(\tilde{A}_{3}^{12-n}-3\tilde{A}_{2}^{12-n}+3)$

Ну сейчас вроде верно.

PaulS писал(а):

Цитата:

2). Если $\tilde{A}_{n}^{k}$ - это "из $n$ по $k$", то почему, например, $\tilde{A}_{2}^{2+n}$, а не наоборот?

Здесь нижний индекс обозначает число элементов которые учавствуют в размещении.

Т.е. $n$ -- это "предметы", а $k$ -- "ящики". Ну можно, конечно, придумывать какие угодно обозначения; однако же в стандартных $A_n^k$ и $C_n^k$ всё в точности наоборот.

Добавлено спустя 1 час 33 минуты 34 секунды:

PAV писал(а):

У меня получается ответ 540, считается почти устно.

Да, кстати, а почему 540 (в предположении, что засажены ровно 5 грядок)?

Вроде как должно быть

$$A_{13}^5\cdot{2\over C_5^2$$

. Ну или, если такой способ неприятен, то

$$C_{13}^5\cdot2\cdot2!\cdot3!$$

. С ровно тем же эффектом.

Т.е. 30888.

[PAV]

ewert писал(а):

Да, кстати, а почему 540 (в предположении, что засажены ровно 5 грядок)?

Поскольку грядки с одной культурой должны быть рядом, то я объединяю луковые грядки в одну и морковные в одну. Получается, что из 10 грядок мне нужно указать, какая будет луковой, а какая - морковной, это ${10\choose 2}=45$. Затем я одну из этих виртуальных грядок превращаю в 2 настоящих, а другую - в три, учитывая все возможные способы расположения. Получается $45\cdot 2\cdot 6 = 540$.

[ewert]

PAV писал(а):

Поскольку грядки с одной культурой должны быть рядом, то я объединяю луковые грядки в одну и морковные в одну. Получается, что из 10 грядок мне нужно указать, какая будет луковой, а какая - морковной, это ${10\choose 2}=45$. Затем я одну из этих виртуальных грядок превращаю в 2 настоящих, а другую - в три, учитывая все возможные способы расположения. Получается $45\cdot 2\cdot 6 = 540$.

А-а, я-то не требовал, чтобы они были рядом. Но всё равно -- даже в Вашей интерпретации:

не $C_{10}^2$, а $A_{10}^2$, т.е. вдвое больше

(понял, слово "факториал" вы просто забыли впечатать).