Задача "Посадка Овощей"

[Евгений Б.]

Имеется 13 грядок, расположенных в ряд.
Сколько существует способов посадки на них 2-ух сортов лука и 3-ёх сортов моркови, если грядки и с луком, и с морковью должны располагаться рядом.(то есть лук рядом с луком, морковь рядом с морковью, чтоб между ними ничего не росло больше)

[PAV]

Напишите свои соображения. Для начала попробуйте решить задачу, например, только для лука, без морковки.

[PaulS]

У меня получается такое решение. Возможно оно не очень рациональное, но какое есть.
$\sum\limits_{n=1}\limits^{8}(\tilde{A}_{2}^{2+n}-2)(\tilde{A}_{3}^{11-n}-3\tilde{A}_{2}^{11-n}+3)$, где $\tilde{A}_{n}^{k}$ - размещение с повторениями из n элементов по k

Ответ: 1006464

[PAV]

PaulS писал(а):

Ответ: 1006464

Этого не может быть. Даже если не требовать, чтобы грядки располагались рядом (от чего количество может только возрасти), то тогда получается только 243 варианта.

[PaulS]

да совсем забыл все это надо еще умножить на 2.

PAV
Надо еще учитывать что грядки разного сота могут распологаться произвольным образом между собой.

[ewert]

Евгений Б. писал(а):

Имеется 13 грядок, расположенных в ряд.
Сколько существует способов посадки на них 2-ух сортов лука и 3-ёх сортов моркови, если грядки и с луком, и с морковью должны располагаться рядом.(то есть лук рядом с луком, морковь рядом с морковью, чтоб между ними ничего не росло больше)

Что имеется в виду -- что они не должны перемежаться? т.е. что возможны только два варианта: или сначала подряд идёт лук, потом подряд морковь, или наоборот?

[PaulS]

ewert

ewert писал(а):

Что имеется в виду -- что они не должны перемежаться? т.е. что возможны только два варианта: или сначала подряд идёт лук, потом подряд морковь, или наоборот?

Я думаю, что так оно и есть. Только вот не где не сказано, что грядки разных сортов одной культуры не должны перемежаться.

[ewert]

Ну тогда, наверное, так:

$$ 2\cdot\sum_{k=2}^{10}(2^k-2)\cdot(3^{13-k}-3\cdot(2^{13-k}-2)-3) $$

Теперь надо раскрывать скобки, потом складывать геометрические прогрессии... Лень.

[PAV]

У меня получается ответ 540, считается почти устно.

(В своем прошлом сообщении я не заметил, что лук двух сортов, а морковка - трех. Я думал, что грядки одной культуры равноценны).

[PaulS]

ewert
Это тоже самое что и у меня.
Только я бы наверное все же оставил комбинаторные обозначения.
А численно подсчет я производил в пакете математика 6.0

Привожу исправленную версию:
$2\sum\limits_{n=1}\limits^{8}(\tilde{A}_{2}^{2+n}-2)(\tilde{A}_{3}^{11-n}-3\tilde{A}_{2}^{11-n}+3)$, где $\tilde{A}_{n}^{k}$ - размещение с повторениями из n элементов по k

Ответ: 2012928

[PAV]

PaulS писал(а):

Ответ: 2012928

Этого не может быть, потому что даже без условия размещения грядок рядом решение будет $13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9=154440$

[ewert]

PAV писал(а):

PaulS писал(а):

Ответ: 2012928

Этого не может быть, потому что даже без условия размещения грядок рядом решение будет $13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9=154440$

Почему? Это

$$A_{13}^{5}={13!\over8!}$$

. Не вижу оснований.

[PaulS]

PAV

PAV писал(а):

Этого не может быть, потому что даже без условия размещения грядок рядом решение будет 13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9=154440

При таком подсчете заняты будут только 5 грядок, а остальные останутся пустыми. Причем каждая из этих грядок будет представлять отдельный сорт.

Добавлено спустя 4 минуты 46 секунд:

Исходя из условия задачи, как я понимаю, грядки должны быть заняты полностью. Или я не прав?

[ewert]

Конечно, полностью.

[PaulS]

ewert писал(а):

Конечно, полностью.

Тогда я счтаю свое решение претендентом на истину, может даже больше ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ