Задача на отображения

[Someone]

maxim555 в сообщении #1341191 писал(а):

Ну это $n$ же как-то получилось из области определения, значит, это множество не может быть пустым.

Как-то нехорошо.
Собственно, что означает формула $y\in F(A)$?

[maxim555]

Элемент $y$ принадлежит множеству $F(A)$. Если $y$ - это множество, то надо ставить знак "содержится".

[Slav-27]

Действительно: $y$ содержится в образе множества $A$ -- это значит, что в множестве $A$ есть какой-то элемент, образ которого равен $y$. Стало быть, $F^{-1}(y)$ непусто; так как $F^{-1}(y)$ есть подмножество множества $A$, то и $A$, следовательно, непусто.

Теперь годится.

[maxim555]

Теперь по поводу литературы. Где можно посмотреть примеры доказательства подобных утверждений?

[Slav-27]

Но обратите внимание, что вот это ваше утверждение неверно:

maxim555 в сообщении #1341174 писал(а):

$F(A)$ - это отображение множества A в чего-либо.

Если $F$ -- отображение множества $A$ в множество $B$, то знаком $F(A)$ принято обозначать подмножество множества $B$, состоящее из таких элементов, у каждого из которых есть (хотя бы один) прообраз в множестве $A$. Таким образом, $F(A)$ -- это, как правило, вообще не отображение.

А вот в этом утверждении огромное (для одной строчки) число ошибок.

maxim555 в сообщении #1341174 писал(а):

($F(a) = {y \in Y | \exists x \in A, F(X) = y}$, говоря формально.)

[maxim555]

$F(A)$ - все значения функции, которое она принимает на множестве $A$.

[Slav-27]

maxim555 в сообщении #1341203 писал(а):

$F(A)$ - все значения функции, которое она принимает на множестве $A$.

Да, так тоже верно.

-- 25.09.2018, 00:44 --

maxim555 в сообщении #1341199 писал(а):

Где можно посмотреть примеры доказательства подобных утверждений?

Утверждение, которое мы обсуждали, малосодержательно, это почти тавтология: если функция хоть на каком-нибудь элементе определена, то она принимает (на этом элементе) какое-нибудь значение, и наоборот: если у функции есть какое-нибудь значение, то где-нибудь она его принимает.

Навряд кто-то пишет книжки, в которых расписываются доказательства настолько тривиальных утверждений. Но попробуйте почитать начало "Математического анализа" Зорича, там написано про множества и отображения.

[Pennywise]

maxim555 в сообщении #1341199 писал(а):

Где можно посмотреть примеры доказательства подобных утверждений?

Velleman 'How to Prove It'. Книга почти целиком состоит из обсуждения методов доказательства подобных простеньких утверждений. Меня эта книга многому научила. На английском, да, что поделать.

[Someone]

maxim555 в сообщении #1341194 писал(а):

Элемент $y$ принадлежит множеству $F(A)$. Если $y$ - это множество, то надо ставить знак "содержится".

Я имел в виду содержательный ответ, а Вы дали тривиальный: просто прочитали формулу. В результате за Вас ответил Slav-27. Это нехорошо в первую очередь для Вас.
И в рассматриваемой ситуации символ "$\in$" будет независимо от природы $y$. Тем более, что в теории множеств никаких объектов, кроме множеств, нет вообще. (Бывают теории множеств с атомами, которые не являются множествами, но не заморачивайтесь этим.)

maxim555 в сообщении #1341199 писал(а):

Где можно посмотреть примеры доказательства подобных утверждений?

Каких "подобных"? Если Вы об обсуждаемом утверждении, то оно столь очевидно, что вряд ли Вы его где найдёте в явно написанном виде, кроме контрольных вопросов на понимание определения.

maxim555 в сообщении #1341203 писал(а):

$F(A)$ - все значения функции, которое она принимает на множестве $A$.

Не "все значения", а "множество всех значений", или, короче, образ множества $A$.