Задача на отображения

[maxim555]

Задача следующая: доказать, что $ A \ne \emptyset \leftrightarrow F(A) \ne \emptyset$.

Пусть $A \ne \emptyset$, тогда надо доказать, что $\forall x \in A; F(x) \ne \emptyset$. Как дальше строить доказательство? (Это моя первая задача на эту тему, а на паре примеров как-то маловато дали). А в обратную сторону доказательство, как я понимаю, будет аналогичным?

И ещё. В какой бы литературе можно почитать разбор подобных примеров?

[Slav-27]

maxim555 в сообщении #1341169 писал(а):

Пусть $A \ne \emptyset$, тогда надо доказать, что $\forall x \in A; F(x) \ne \emptyset$

Нет. Что такое $F$? Что такое $F(A)$?

[maxim555]

$F(A)$ - это отображение множества A в чего-либо. ($F(a) = {y \in Y | \exists x \in A, F(X) = y}$, говоря формально.)

[Slav-27]

maxim555
$\emptyset$ -- это общепринятое обозначение пустого множества, $\leftrightarrow$ -- это общепринятый символ эквивалентности 2 утверждений. Стало быть, вас просят доказать эквивалентность двух утверждений, второе из которых есть $F(a)\ne\emptyset$. Иными словами, по вашему разъяснению, это следующее утверждение: "отображение множества $A$ в чего-либо не равно пустому множеству". В каком смысле это понимать? В каком смысле вообще отображение может быть равно множеству?

[maxim555]

Я это понимаю так: если у нас множество прообразов функции непустое, то и множество образов функции будет непустое.

[Slav-27]

Это уже ближе к разуму, только надо говорить не "множество прообразов", а "область определения".

Ну вот, предположим, у нас есть функция, определённая на множестве $A$ и принимающая значения в множестве $B$. Это значит, что каждому элементу $a$ множества $A$ сопоставлен некоторый элемент $f(a)$ множества $B$.

Пусть множество $A$ непусто, то есть содержит хотя бы один элемент (обозначим его $x$). Нужно доказать, что множество образов элементов множества $A$ относительно функции $f$ непусто. Для этого достаточно предъявить какой-нибудь элемент множества $B$, являющийся образом какого-нибудь элемента множества $A$...

[maxim555]

Получается, что $F(x)$ и есть этот элемент? А в доказательстве "наоборот" это $F^{-1}(y)$?

[Slav-27]

maxim555 в сообщении #1341181 писал(а):

Получается, что $F(x)$ и есть этот элемент?

Да.

maxim555 в сообщении #1341181 писал(а):

А в доказательстве "наоборот" это $F^{-1}(y)$?

А это смотря что обозначить буквой $y$.

-- 25.09.2018, 00:05 --

И смотря как понимать обозначение $F^{-1}(y)$.

[maxim555]

$y$ - это элемент множества $F(A)$.

[Slav-27]

А $F^{-1}(y)$ что такое?

[maxim555]

Множество всех $x$, принадлежащих области определения, для которых $F(x) \in y$, то есть все иксы, из которых получается $y$. В нашем доказательстве можно рассмотреть $y$ как множество, состоящее из найденного нами хотя бы одного элемента.

[Someone]

maxim555 в сообщении #1341185 писал(а):

для которых $F(x) \in y$

Нет.

[maxim555]

$F(x) = y$, точнее.

[Slav-27]

Ага, то есть вы говорите следующее: пусть можество $F(A)$ непусто, то есть содержит хотя бы один элемент; обозначим его, например, $n$. Обозначим теперь буквой $y$ одноэлементное множество, единственный элемент которого есть $n$ (иными словами: $y=\{n\}$). Рассмотрим теперь множество $F^{-1}(y)$, состоящее из всех элементов множества $A$, образ которых содержится в $y$ (иными словами, образ которых равен $n$).

И что дальше? Как вы доказываете непостоту $A$? Вдруг множество $F^{-1}(y)$ пустое?

maxim555 в сообщении #1341188 писал(а):

$F(x) = y$, точнее.

Принимаю ваше исправление.

Ага, то есть вы говорите следующее: пусть можество $F(A)$ непусто, то есть содержит хотя бы один элемент; обозначим его, например, $y$. Рассмотрим теперь множество $F^{-1}(y)$, состоящее из всех элементов множества $A$, образ которых равен $y$.

И что дальше? Как вы доказываете непостоту $A$? Вдруг множество $F^{-1}(y)$ пустое?

[maxim555]

Ну это $n$ же как-то получилось из области определения, значит, это множество не может быть пустым.