Активная и Реактивная мощность в ТОЭ

[specialist]

Делая один приборчик, заинтересовали меня мощности, которые можно померить.
Заглянув в Бессонова Л.А. ТОЭ 1964г.
Есть замечательные формулы:
$ P=T^{-1}\int\limits_0^T iudt $ - активная мощность
$ S=T^{-1}\sqrt{\int\limits_0^T u^{2}dt \int\limits_0^T i^{2}dt} $ - полная мощность
$ Q=? $ - реактивная мощность
Мне известно, чему равна реактивная мощность в случае синусоидальных токов и напряжений. Однако мне стало интересно, каково интегральное выражение реактивной мощности и захотелось его посмотреть. Первоначально я подумал, что будет здорово взять $ S\sin{\arccos{\frac{P}{S}}} $, однако как мне кажется в данном случае теряется знак выражения зависящий от фазы. Поэтому я пошел вторым путем, думая что функции $ P $ и $ Q $, должны быть ортогональны и из соответствующего интеграла $ 0=\int\limits_0^\varphi PQd\varphi $ выразить $ Q $, однако у меня и тут ничего не вышло. Тогда я пошел третьим путем, заодно захотев разобраться что-же такое реактивная энергия. В Бессонове в параграфе 101 на странице 140, дается пример с пояснением откуда и куда перетекает реактивная мощность, на примере индуктивности и емкости. При этом общий план выведения примерно такой (возможно я не правильно понял):
1. Записывается выражение для мгновенной энергии замкнутой системы.
2. Выражение разделяется на составляющие функционально зависящие от времени и независящие.
3. Для определенного промежутка времени разделенные выражения энергии усредняется (я так и не понял почему автор взял от $ -\frac{T}{8} $ до $ \frac{T}{8} $)
4. И усредненное выражение функционально зависящей от времени составляющей энергии - как я понял, является "реактивной" энергией, а другая часть "активной" энергией
5. Ну чтоб получить реактивную мощность, нужно продифференцировать реактивную энергию.
Придерживаясь этого плана, я записал:
1. $ w=\int\limits_0^t iudt $ - мгновенная энергия замкнутой системы
2. $ w=\int\limits_0^t iudt = w_p + w_q (t)$ - разделили
3. $ T^{-1}\int\limits_0^T{w}dt= T^{-1}\int\limits_0^T{\int\limits_0^t iudt}dt = T^{-1}\int\limits_0^T{w_p}dt + T^{-1}\int\limits_0^T{w_q (t)}dt$ - усреднили
4. думая что "активная энергия" из активной мощности, не зависит от времени (хотя как это может быть) и выражается формулой: $T^{-1}\int\limits_0^t{\int\limits_0^T iudt}dt $, мы её подставляем в выражение №3 и получаем выражение для усредненной "реактивной энергии": $T^{-1}\int\limits_0^T{w_q (t)}dt = T^{-1}\int\limits_0^T{\int\limits_0^t iudt}dt - T^{-1}\int\limits_0^t{\int\limits_0^T iudt}dt$. И тут я понял, что это бред.
Подскажите пожалуйста, как получить интегральное выражение для реактивной мощности, зная токи и напряжения но не вычисляя разность фаз между ними(и чтоб знак от знака фазы не терялся). Хорошо бы еще понять что такое реактивная и активная составляющая энергии. Ткните в нужную книгу, пожалуйста.

[realeugene]

specialist в сообщении #1340211 писал(а):

В Бессонове в параграфе 101 на странице 140

В издании 1996 года, скан которого у меня имеется, понятие реактивной мощности определяется естественным путём для синусоидальных токов. Иное определение я быстро найти не могу. В этом издании даже параграфы нумеруются иначе, чем в вашем издании 60-х годов.

[specialist]

(Оффтоп)

приведу ссылку https://www.twirpx.com/file/368050/

[realeugene]

(Оффтоп)

specialist в сообщении #1340229 писал(а):

приведу ссылку https://www.twirpx.com/file/368050/

По ссылке требуется регистрация.

[Евгений Машеров]

Есть тут http://libgen.io/book/index.php?md5=D7F ... 22C612CE6D (djvu)

[specialist]

(Оффтоп)

тут без регистрацииhttp://booktech.ru/books/elektrotehnika/893-teoreticheskie-osnovy-elektrotehniki-1964-la-bessonov.html

[Евгений Машеров]

Сугубое ИМХО.
Понятия "активная", "реактивная" и "полная" мощность относятся не к физике, а к электротехнике. В том смысле, что являются упрощениями для важного, но практически весьма важного случая - синусоидального тока известной частоты.
С точки зрения физики мощность это работа в единицу времени. То есть "активная мощность" и есть "мощность" с точки зрения физики, и другой мощности нет. "Реактивная мощность" работы не производит, и мощностью не является (собственно, чтобы подчеркнуть это, она меряется в единицах иной размерности, вольт-амперах или ВАР). Она характеризует переток энергии между источником и приёмником, в среднем нулевой, но с меняющимся с частотой сети направлением перетока. Учёт её важен постольку, поскольку в проводах, по которым происходит переток, есть активное сопротивление и поэтому имеют место потери. Точно так же "полная мощность" это не мощность, а величина, получаемая умножением двух легко измеримых величин - напряжение и ток - и произведение имеет размерность мощности, а "мощностью" с прилагательным "полная" вправе называть потому, что для одних нагрузок, чисто омических, мы действительно получим мощность, а для других - основную часть этого произведения составит мощность, "активная мощность".
По этой причине первый приведенный интеграл имеет смысл, а второй - всего лишь перефразированное "полная мощность это произведение тока на напряжение".
Для названного важного частного случая легко выразить "реактивную мощность", домножив это произведение на синус фазового сдвига. В общем случае простого выражения нет, поскольку сигнал несинусоидальной формы нельзя охарактеризовать одной величиной фазового сдвига.
Термины "полная", "активная" и "реактивная" мощность введены просто для упрощения работы электротехников, в физическом смысле мощность лишь одна, "активная". Исследовать переток энергии туда-сюда, разумеется, можно, но если не стоит задача облегчить понимание электрика, не стоит именовать величину перетока за единицу времени "мощностью", хотя бы и прибавляя "реактивная".

[realeugene]

specialist в сообщении #1340234 писал(а):

тут без регистрацииhttp://booktech.ru/books/elektrotehnika/893-teoreticheskie-osnovy-elektrotehniki-1964-la-bessonov.html

Насколько я вижу, этот пример тоже касается только синусоидального тока. Бессонов показывает, что такая мощность на переменном синусоидальном токе одну четверть периода прокачивается от источника к реактивной нагрузке, а вторую четверть периода от нагрузки обратно в источник. И так дважды за период. Соответственно, интеграл берётся по четверти периода, по которой подынтегральное выражение положительно.
Реактивная мощность появляется как понятие при переходе к синусоидальному току на одной частоте. Расширяется ли это понятие на периодический несинусоидальный ток - точно не знаю, но сомневаюсь. Мгновенно нет никакой реактивной мощности как понятия.

[specialist]

Евгений Машеров в сообщении #1340239 писал(а):

"Реактивная мощность" работы не производит, и мощностью не является (собственно, чтобы подчеркнуть это, она меряется в единицах иной размерности, вольт-амперах или ВАР).

то есть: $ w_q=\int\limits_0^T Qdt =0 $ при условии что $ T $ это период гармонического сигнала или достаточно большая величина? или нужно еще усреднить?
$ T^{-1}\int\limits_0^T{w_q}=T^{-1}\int\limits_0^T{\int\limits_0^T Qdt} =0 $

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1340239 писал(а):

Понятия "активная", "реактивная" и "полная" мощность относятся не к физике, а к электротехнике.

В прикладной электродинамике при расчёте антенных систем и высокочастотных устройств эти понятия также используются. В гармонических полях вектор Пойнтинга можно рассматривать как комплексный, мнимая часть которого как раз является потоком реактивной энергии.

[Евгений Машеров]

realeugene в сообщении #1340244 писал(а):

В прикладной электродинамике при расчёте антенных систем и высокочастотных устройств эти понятия также используются. В гармонических полях вектор Пойнтинга можно рассматривать как комплексный, мнимая часть которого как раз является потоком реактивной энергии.

Ну опять же - известная частота. Упрощение, чтобы вместо ДУЧП общего вида обойтись комплексной арифметикой.

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1340251 писал(а):

Упрощение, чтобы вместо ДУЧП общего вида обойтись комплексной арифметикой.

Разумеется, упрощение. ДУЧП остаются, но исчезает одна переменная - время. Более простая модель, работающая для более узкой области применения, но со своими дополнительными понятиями. Вся классическая электродинамика Максвелла - это тоже упрощение.

[Munin]

specialist в сообщении #1340211 писал(а):

В Бессонове в параграфе 101 на странице 140, дается пример с пояснением откуда и куда перетекает реактивная мощность, на примере индуктивности и емкости.

А какой в этом может быть физический смысл?

Я представляю себе ситуацию так:
- Мы можем рассмотреть мгновенные потоки энергии в системе. Здесь физически есть только одна энергия и мощность.
- В случае периодических процессов мы можем усреднить что-то по времени за период. И вот тут уже начинаются игры и танцы с бубном.

В случае активной нагрузки (и синусоидального тока) мы видим, что мгновенная мощность имеет постоянную и переменную составляющие: $p=ui=U_m I_m\sin^2\omega t=U_m I_m(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cos 2\omega t).$ Они строго пропорциональны друг другу, и мы можем оценивать среднюю мощность (получающуюся из постоянной составляющей) по размаху мгновенной.

В случае реактивной нагрузки мы видим, что мгновенная мощность $p=ui=U_m I_m\sin\omega t(-\cos\omega t)=U_m I_m(-\tfrac{1}{2}\sin 2\omega t)$ имеет размах, но нулевую среднюю. Полезная мощность у потребителя нуль (сколько взято за полпериода, столько же отдаётся обратно), но ток идёт, напряжение падает (и может пробивать, например), амперметры и вольтметры их обнаружат. Поэтому здесь мы не можем связать размах мгновенной и среднюю мощность, и называем это "реактивной мощностью". Ну и соответственно, описываем промежуточные случаи.

В целом, всё это разделение приобретает смысл только при усреднении за период. Если мы мгновенно смотрим на какие-то потоки энергии, то мы не знаем, что из них будет возвращено когда-то, а что - нет. Поэтому выдумывать "реактивную мощность" из каких-то мгновенных значений - бессмысленно.

-- 20.09.2018 11:04:03 --

specialist в сообщении #1340241 писал(а):

то есть: $ w_q=\int\limits_0^T Qdt =0 $ при условии что $ T $ это период гармонического сигнала или достаточно большая величина? или нужно еще усреднить?

Усреднение у вас только одно - за период. И вы начали бессмысленно играть значками. До добра это не доведёт.

Перепишите ваши первые формулы в таком виде:

specialist в сообщении #1340211 писал(а):

Есть замечательные формулы:
$P=\langle iu\rangle$ - активная мощность
$S=\sqrt{\langle u^2\rangle}\sqrt{\langle i^2\rangle}$ - полная мощность
$Q=?$ - реактивная мощность

где $\langle f\rangle$ - усреднение. И дальше исходите из определения $P^2+Q^2=S^2.$

[realeugene]

Munin в сообщении #1340259 писал(а):

Перепишите ваши первые формулы в таком виде:
specialist в сообщении #1340211

писал(а):
Есть замечательные формулы:
$P=\langle iu\rangle$ - активная мощность
$S=\sqrt{\langle u^2\rangle}\sqrt{\langle i^2\rangle}$ - полная мощность
$Q=?$ - реактивная мощность где $\langle f\rangle$ - усреднение. И дальше исходите из определения $P^2+Q^2=S^2.$

Плохие определения.
Пусть к источнику постоянного напряжения с высоким внутренним сопротивлением подключена активная нагрузка через ключ. Ключ периодически замыкается и размыкается. Первую половину периода ключ разомкнут, напряжение 100 В, ток равен нулю. Вторую половину периода ключ замкнут, напряжение 1 В, ток 1 А. Тогда активная мощность равна 0.5 Вт. Полная мощность по этому определению равна 25 Вт. Но по смыслу этого понятия никакой реактивной мощности, возвращаемой периодически в источник, тут нет. Так что, на несинусоидальные токи понятие реактивной мощности не расширяемо.

[Munin]

А я и не говорил, что расширяемо.