Доказать, что последовательность бесконечно большая.

[bitcoin]

Не очень понимаю, как ограничить синус снизу?
Пусть $n=2m$

Попробую показать, что $\sin 2m>0,5$

То есть нужно показать, что

$2\sin m\cos m+1>1,5$ или $(\sin m+\cos m)^2>1,5$ или $|\sin m+\cos m|>0,5\sqrt{3}$

Но это ничего не дает.

Я лишь понимаю, что синус будет менять знак при любом раскладе, даже при больших $n$, значит последовательность будет менять знак, но это, вроде как, ничего не дает.

[EUgeneUS]

bitcoin в сообщении #1339436 писал(а):

Не очень понимаю, как ограничить синус снизу?

Правильно не понимаете. А он ограничен снизу?

[bitcoin]

EUgeneUS в сообщении #1339439 писал(а):

Правильно не понимаете. А он ограничен снизу?

Xaositect в сообщении #1339408 писал(а):

Для начала попробуйте доказать, что $\sin n$ будет достаточно часто иметь достаточно большое значение (например, больше $1/2$).

[kotenok gav]

"Достаточно часто" а не всегда.

[EUgeneUS]

bitcoin

Осталось понять, что утверждения "последовательность ограничена снизу" и "последовательность будет достаточно часто иметь достаточно большое значение" - это два совершенно различных утверждения.

Рассмотрите последовательность:
$a_n = \frac{1}{n}$, если $n$-четное; $a_n = n$, если $n$ - нечетное. Например.

[thething]

bitcoin
Всё-таки определитесь, что Вы доказываете. Последовательность не является бесконечно большой, но можно доказать, что она неограничена, а для этого достаточно доказать, что $\sin n$ не стремится к нулю.

-- 16.09.2018, 21:39 --

Указание: на интервале $\left(\frac{\pi}{2}+2\pi N,\frac{\pi}{2}+2\pi N +1\right)$ лежит натуральное число и на этом интервале синус монотонно убывает.

[bitcoin]

Кажется я понял, можно выделить такую подпоследовательность у $\sin n$, с номерами $m$, что $\sin m>0,5$ (ввиду периодичности это сделать можно).

Тогда $m\sin m>0,5 m$, но ведь $0,5m\to +\infty$, значит $m\sin m\to +\infty$

Так можно выделить такую подпоследовательность у $\sin n$, с номерами $m$, что $\sin m<-0,5$

Тогда $m\sin m<-0,5 m$, но ведь $-0,5m\to -\infty$, значит $m\sin m\to -\infty$.

То есть мы выделили две подпоследовательности, которые имеют разные пределы, значит исходная последовательность не имеет предела. Верно ли это?

[thething]

Мало сказать, что подпоследовательность выделить можно, надо предъявить конкретное построение (см. мой предыдущий совет).

[bitcoin]

thething в сообщении #1339455 писал(а):

Указание: на интервале $\left(\frac{\pi}{2}+2\pi N,\frac{\pi}{2}+2\pi N +1\right)$ лежит натуральное число и на этом интервале синус монотонно убывает.

Спасибо, да, на этом интервале лежит число $2+2\pi N$. Но только из серии $2+2\pi N$ только одно число при $N=0$ является натуральным, в этом есть некоторая сложность. Спасибо

-- 16.09.2018, 21:27 --

thething в сообщении #1339455 писал(а):

Всё-таки определитесь, что Вы доказываете. Последовательность не является бесконечно большой, но можно доказать, что она неограничена, а для этого достаточно доказать, что $\sin n$ не стремится к нулю.

Да, давайте докажем неограниченность. Я уже понял, что вряд ли она будет бесконечно большой

-- 16.09.2018, 21:31 --

EUgeneUS в сообщении #1339443 писал(а):

Рассмотрите последовательность:
$a_n = \frac{1}{n}$, если $n$-четное; $a_n = n$, если $n$ - нечетное. Например.

Спасибо, я просто тогда затупил

$a_n=\frac{1}{n}$ для четных $n$ будет $0<a_n\le 0,5$

$a_n=n$ будет снизу ограничена $1$, сверху неограничена.

[Otta]

bitcoin в сообщении #1339478 писал(а):

Спасибо, да, на этом интервале лежит число $2+2\pi N$. Но только из серии $2+2\pi N$ только одно число при $N=0$ является натуральным, в этом есть некоторая сложность.

Сложность возникла из-за того, что Вы решили, что на каждом интервале натуральное число нужно указать явно. А Вам достаточно убедиться, что оно существует. Нет?

[bitcoin]

Otta в сообщении #1339481 писал(а):

Сложность возникла из-за того, что Вы решили, что на каждом интервале натуральное число нужно указать явно. А Вам достаточно убедиться, что оно существует. Нет?

Кстати да, спасибо, действительно, существует, так как длина интервала 1. Но зачем нам нужно убывание?
Кстати, в этот интервал попадает $\pi+2\pi N$, при котором синус ноль. Или мы можем просто сказать, что $\sin n\ne 0$, так как он будет равен нулю при значениях, кратных $\pi$, а $n$ не будет кратно $\pi$? Просто, честно говоря, не очень понимаю -- зачем это нужно?

[Otta]

bitcoin в сообщении #1339492 писал(а):

Кстати, в этот интервал попадает $\pi+2\pi N$,

Ну прям.

bitcoin в сообщении #1339492 писал(а):

Кстати да, спасибо, действительно, существует, так как длина интервала 1. Но зачем нам нужно убывание?

Существует и существует, а доказать-то что хотели?