2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Физическое понимание дифференциала
Сообщение14.09.2018, 18:45 


07/08/14
2767
А как тогда нельзя, в чём проявляется "неразделимость", отличие от обычного умножения под знаком интеграла?
Например, так можно:
$F(x)=\int f(x)dx$
$dF(x)=f(x)dx$
делим обе части на $dx$
$\frac{dF(x)}{dx}= f(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Физическое понимание дифференциала
Сообщение14.09.2018, 18:49 


20/07/18
24
upgrade
Ну так я же в сообщении писал, что данное определение дифференциала как функции формально не связано с этим значком в интеграле (не разделим = используется только там). Но оказывается, что, действительно, они ведут себя одинаково и можно условно обобщить понятие дифференциала, спокойно делая с ним то, что вы делаете.
Такое вот объяснение изложил для ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физическое понимание дифференциала
Сообщение14.09.2018, 18:52 
Аватара пользователя


31/10/08
934
Guvertod
Не надо учить плохому!
$\int y dy$ это не тоже самое что и $\int dy\cdot y$
Решение первого будет
$\int y dy=\frac{y^2}{2}$
Решение второго
$\int dy\cdot y=$\int dy^2=y^2$

Guvertod в сообщении #1338976 писал(а):
Например, мы можем сокращать их (значения - это же просто числа!): $$\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}$$

Ни в коем рази не числа - потом будут проблемы с частными производными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физическое понимание дифференциала
Сообщение14.09.2018, 19:11 
Аватара пользователя


31/10/15
140
Физфак СПбГУ

(Оффтоп)

Моя картина мира рушится. А ведь всё так понятно было...

 Профиль  
                  
 
 Re: Физическое понимание дифференциала
Сообщение14.09.2018, 19:12 


20/07/18
24
Pavia
Когда я пишу $I=\int dx f(x)$ я подразумеваю именно обычный интеграл от функции $f(x)$ по $dx$ (не от дифференциала всего выражения $xf$, конечно же!). Говорю же, просто такая привычка, так мне удобнее. И не вижу в этом ничего страшного, да и обсуждалось несколько не запись интегралов.
Pavia в сообщении #1339004 писал(а):
Ни в коем рази не числа - потом будут проблемы с частными производными.

До интегралов я использовал определение дифференциала как функции. Ее значения есть числа.
Не вижу, какие могут возникнуть проблемы, если понимать что такое частные производные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физическое понимание дифференциала
Сообщение14.09.2018, 19:22 


05/09/16
4644
SNet в сообщении #1339007 писал(а):
Моя картина мира рушится. А ведь всё так понятно было...

А я вам про это ещё тут говорил: post1322941.html#p1322941 :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Физическое понимание дифференциала
Сообщение14.09.2018, 19:28 


07/08/14
2767
Pavia в сообщении #1339004 писал(а):
$\int y dy$ это не тоже самое что и $\int dy\cdot y$

не тоже самое если так
$\int d(y\cdot y)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Физическое понимание дифференциала
Сообщение14.09.2018, 19:33 
Аватара пользователя


31/10/15
140
Физфак СПбГУ
Guvertod
Спасибо за очень подробное объяснение! Теперь я попробую приложить его к физике.

Но в самом начале вот что. Пусть задача некоторая функция $f(x)$ (гладкая, как в физике). Тогда её приращение можно записать как $f(x + dx) - f(x) = df + \sigma(dx)$, где $\sigma(dx)$ -- бесконечно малая более высокого порядка, чем $dx$ (помним, что $dx = f'(x)\Deltax$. "На пальцах" это означает, что если зафиксировать точку $x_0$ и брать $x - x_0$ всё меньше и меньше, то $\Deltaf(x)$ будет всё больше и больше походить на $df$. В пределе они должны точно сравняться. В этом смысле $df$ можно интерпретировать как приращение $f(x)$ при "очень малом изменении аргумента". Сразу ощущаю, что трудно будет формализовать "очень малое изменение аргумента". Но это не нужно, ибо прямо сейчас я перехожу к физике.
Пусть точка движется по закону $s(t)$ вдоль своей траектории. Тогда её смещение представимо как $s(t + dt) - s(t) = ds + \sigma(dt)$. Если мы будем брать всё меньшие и меньшие промежутки времени, то рано или поздно в физическом процессе смещения роль $\sigma(dt)$ станет незначительной по сравнению с $ds$ и ей можно будет пренебречь, так что в этом смысле $ds$ будет бесконечно малым смещением. Разумеется, в первую очередь это не величина, а функция, но её значения описывают эти "поведения в бесконечно близкие моменты времени" в каждой точке траектории. И снова возвращаюсь на круги своя... :facepalm:
Изменилось разве что то, что я теперь вижу в $ds$ характер функции, но ведь такой, которая описывает процесс в бесконечно малых областях времени! А... чтобы не формализовывать "бесконечно малые области времени" скажем так: реальный процесс стремится к описываемому $ds$ при уменьшении промежутков времени, и в пределе совпадает с ним. То есть да, фактически это никогда не какое-то смещение, но то, что характеризует реальное движение "в пределе". Вот так вот верно?


Munin
То есть нельзя говорить "Элемент массы $dm$"? Хотя, кажется, тут та же ситуация, что и с дифференциалом. Ведь если выполняется написанное вами интегральное соотношение, то в пределе это и означает суммирование "кусочков".

 Профиль  
                  
 
 Re: Физическое понимание дифференциала
Сообщение14.09.2018, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66401
SNet в сообщении #1339016 писал(а):
Munin
То есть нельзя говорить "Элемент массы $dm$"?

Физикам можно :-) Но с пониманием, что под этим подразумевается.

1. На уровне физических рассуждений о реальности, о телах, о массе - это то же самое, что "элемент массы $\Delta m$". Этому элементу можно присвоить объём, положение (как материальной точке), скорость, угловую скорость (иногда), силу тяжести, температуру, тепловую энергию, и так далее, и так далее.

2. Как только эти физические величины связываются между собой какими-то формулами, это оказываются формулы вышеупомянутых типов: "производная равна..." и "дифференциал равен...". С момента написания формулы, включаются стандартные правила матанализа.

3. Иногда часть элементарных выкладок физики могут проводить "на пальцах" на границе между пунктами 1 и 2. При этом часто произносятся вещи типа "так как элемент $dm$ мал, то можно отбросить все слагаемые высших порядков малости (пропорциональные $dm^2,dm^3\ldots$)". Понимать это надо так: если проделывать вычисления на уровне пункта 2, по правилам матанализа, то соответствующие слагаемые вообще не появятся.

    (Оффтоп)

    Можно понимать это так: физики помнят про определение производной
    $$\dfrac{df}{dx}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}.$$ При этом, они сначала проводят выкладки "под знаком предела", а потом упрощают их, вспоминая, что при взятии предела некоторые слагаемые обнулятся. То, что физики при этом произносят $dm,$ а не $\Delta m,$ - позволительная в физическом контексте небрежность. Сам по себе подобный стиль рассуждений - математически нестрог и может приводить к ошибкам, так что лучше всё-таки всё проверять честными строгими математическими вычислениями. Но при пересказывании физики в учебниках он может помогать понять суть явления и физическую интуицию за формулами. Разумеется, в учебники попадают только те рассуждения, которые заведомо проверены и чисты от ошибок.

4. Иногда рассуждения о порядках малости встречаются на более серьёзном уровне, например, в учебниках теоретической физики. Там их следует понимать в строгом смысле (как порядки малости бесконечно малых функций, и как последовательные члены ряда Тейлора / Лорана).

 Профиль  
                  
 
 Re: Физическое понимание дифференциала
Сообщение14.09.2018, 20:07 
Аватара пользователя


31/10/15
140
Физфак СПбГУ
Munin
То есть получается следующее: физическая интерпретация не соответствует природе математического объекта, но особо ей не противоречит, так что можно использовать и в определённых границах свободно переключаться с одного на другое? Мы как бы понимаем под $dm$ элемент массы, тем самым достаточно точно отображаем физический смысл соотношений, но как только захотим как-то оперировать с этим объектом, то нужно будет вмиг на этом промежуточном этапе (до результата) вспомнить его математическую природу и действовать в соответствии с ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физическое понимание дифференциала
Сообщение14.09.2018, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66401
SNet в сообщении #1339031 писал(а):
То есть получается следующее: физическая интерпретация не соответствует природе математического объекта, но особо ей не противоречит, так что можно использовать и в определённых границах свободно переключаться с одного на другое?

Да, примерно так.

Тут упоминался учебник Савельева, там в первых параграфах есть отдельный параграф на эту тему. Рекомендую найти и прочесть.

Никакая физическая реальность пока ещё в точности не соответствует никакому математическому объекту. Физики мирятся с этим несоответствием, загоняя его "в пределы погрешности". (В практических задачах погрешность устанавливается такой, какая достаточна для практических нужд. В фундаментальных исследованиях погрешность устанавливается наилучшей, которая достижима экспериментальными приборами и методами на сегодняшний день - эта величина переменная и со временем улучшается, однако улучшения крайне трудны и дорогостоящи.) Различные физические теории:
- могут согласовываться с экспериментом довольно грубо, но лучше теории на замену нет - тогда это полагают погрешностью теории;
- могут согласовываться с экспериментом в рамках или на грани экспериментальной погрешности - тогда это область активных исследований;
- могут согласовываться с экспериментом прекрасно на протяжении десятилетий или столетий, укладываясь в экспериментальную погрешность, как бы она ни уменьшалась (иногда на много порядков!) - тогда это прекрасные теории.
Примеры таких теорий: квантовая физика, ОТО; теория тяготения Ньютона на протяжении с 17 по конец 19 века.

Рассмотрим пару примеров: $v=ds/dt,$ $dm=\rho\,dV.$ С точки зрения математики, эти соотношения возникают из конечных соотношений типа $v_\text{ср}=\Delta s/\Delta t,$ $\Delta m=\rho_\text{ср}\Delta V.$ Насчёт конечных соотношений физики и математики вполне согласны, но хочется "отбрасывать слагаемые высших порядков малости", упрощая выкладки. С точки зрения математики, это можно сделать, если взять пределы $\lim\limits_{\Delta t\to 0},$ $\lim\limits_{\Delta V\to 0}.$ Но физики знают, что не могут взять таких пределов. При устремлении $\Delta t\to 0,$ наступает момент, когда из-за квантовой неопределённости погрешность $v_\text{ср}$ начинает не уменьшаться, а расти. (На самом деле, такой момент часто наступает раньше из-за других причин.) При устремлении $\Delta V\to 0,$ мы рано или поздно натыкаемся на атомарную структуру вещества, и вместо гладкой функции $\rho_\text{ср}$ опять же получается ерунда. Так что физики смотрят на эти формулы как на некоторую идеальную картину, в которую хочется поверить, но до конца не верится. Они применяют формулы $v=ds/dt,$ $dm=\rho\,dV$ в их области применимости: при достаточно больших интервалах времени, при достаточно больших элементах объёма. Помнить про область применимости - естественно для физика, но математики привыкли смотреть на любой факт как на верный всегда и везде.

-- 14.09.2018 20:37:53 --

То есть, физики работают с $dm$ как с математическим объектом, доводят выкладки до точного математического вывода, а потом смотрят: а не вышел ли этот вывод за границы применимости, как их представляют себе физики? Границы применимости удобно представлять себе как интервалы на шкалах физических величин. Например, мы знаем, что межатомные расстояния в твёрдом теле - порядка $10^{-10}\text{ м}=1\text{ \AA}.$ Тогда мы можем пользоваться выводами, сделанными из формулы $dm=\rho\,dV,$ если эти выводы касаются масштабов в миллиметры, метры, километры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физическое понимание дифференциала
Сообщение14.09.2018, 20:40 


11/12/16
3864
SNet в сообщении #1339007 писал(а):
Моя картина мира рушится. А ведь всё так понятно было...


Ваша картина мира рушится, потому что Вы под одним из её углов обнаружили пустоту. Примерно как на космодроме Восточный.
Если Вы не убежите в панике с криком "ААААААААА", то окажется, что картина мира осталась примерно той же самой, а где была пустота оказался бетонный фундамент. Опять же, примерно как на космодроме Восточный :D

-- 14.09.2018, 20:53 --

SNet
иногда хочется сказать ярко, ясно и кратко:

EUgeneUS в сообщении #1338746 писал(а):
Всё наглядно, если не забывать, что за каждым $dx$ маячит предельный переход $\Delta x \to 0$.


Но потом приходит уважаемый Munin и говорит чуть более длинно, но гораздо более ясно:

Munin в сообщении #1339035 писал(а):
Рассмотрим пару примеров: $v=ds/dt,$ $dm=\rho\,dV.$ С точки зрения математики, эти соотношения возникают из конечных соотношений типа $v_\text{ср}=\Delta s/\Delta t,$ $\Delta m=\rho_\text{ср}\Delta V.$ Насчёт конечных соотношений физики и математики вполне согласны, но хочется "отбрасывать слагаемые высших порядков малости", упрощая выкладки. С точки зрения математики, это можно сделать, если взять пределы $\lim\limits_{\Delta t\to 0},$ $\lim\limits_{\Delta V\to 0}.$

"Интерпретация Лейбница" (отличаем её от "нотации Лейбница") работает потому, что иногда (в физических приложениях - почти всегда) можно сначала что-то сделать с конечными приращениями, а потом выполнить предельный переход ($\Delta t\to 0$ или $\Delta V\to 0$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Физическое понимание дифференциала
Сообщение14.09.2018, 23:12 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
15723
Кронштадт
Munin в сообщении #1338971 писал(а):
Мы-то это понимаем. Но педагогически надо, видимо, как-то это рассмотреть отдельно и пояснить.
Ну так это обычно даже поясняется. Сейчас пересматривать разные курсы еще раз лень, но я точно помню, что у Сивухина и в Берклеевском курсе это явно обсуждается и разжевывается, Матвеев/Савельев в этом смысле лаконичнее, но совсем уж без внимания этот вопрос и там не остается.

-- 14.09.2018, 23:23 --

Pavia в сообщении #1339004 писал(а):
Не надо учить плохому!
$\int y dy$ это не тоже самое что и $\int dy\cdot y$
Pavia, запись вроде
Guvertod в сообщении #1338976 писал(а):
$$\int dyf(y)=\int dxy'f(y(x))$$
является совершенно стандартной и для математиков, и для физиков (и во многих отношениях ранее знакомство с ней даже весьма полезно).
Pavia в сообщении #1339004 писал(а):
Ни в коем рази не числа - потом будут проблемы с частными производными.
Строго говоря, функции, но не суть. Так делать с дифференциалами можно и нужно. То, что кто-то потом не видит разницы между $df/dx$ и $\partial f/\partial x$ - не повод запрещать корректный метод, это скорее проблема того, кто не умеет отличать один символ от другого.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group