Физическое понимание дифференциала

[upgrade]

А как тогда нельзя, в чём проявляется "неразделимость", отличие от обычного умножения под знаком интеграла?
Например, так можно:
$F(x)=\int f(x)dx$
$dF(x)=f(x)dx$
делим обе части на $dx$
$\frac{dF(x)}{dx}= f(x)$

[Guvertod]

upgrade
Ну так я же в сообщении писал, что данное определение дифференциала как функции формально не связано с этим значком в интеграле (не разделим = используется только там). Но оказывается, что, действительно, они ведут себя одинаково и можно условно обобщить понятие дифференциала, спокойно делая с ним то, что вы делаете.
Такое вот объяснение изложил для ТС.

[Pavia]

Guvertod
Не надо учить плохому!
$\int y dy$ это не тоже самое что и $\int dy\cdot y$
Решение первого будет
$\int y dy=\frac{y^2}{2}$
Решение второго
$\int dy\cdot y=$\int dy^2=y^2$

Guvertod в сообщении #1338976 писал(а):

Например, мы можем сокращать их (значения - это же просто числа!):

$$\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}$$

Ни в коем рази не числа - потом будут проблемы с частными производными.

[SNet]

(Оффтоп)

Моя картина мира рушится. А ведь всё так понятно было...

[Guvertod]

Pavia
Когда я пишу $I=\int dx f(x)$ я подразумеваю именно обычный интеграл от функции $f(x)$ по $dx$ (не от дифференциала всего выражения $xf$, конечно же!). Говорю же, просто такая привычка, так мне удобнее. И не вижу в этом ничего страшного, да и обсуждалось несколько не запись интегралов.

Pavia в сообщении #1339004 писал(а):

Ни в коем рази не числа - потом будут проблемы с частными производными.

До интегралов я использовал определение дифференциала как функции. Ее значения есть числа.
Не вижу, какие могут возникнуть проблемы, если понимать что такое частные производные.

[wrest]

SNet в сообщении #1339007 писал(а):

Моя картина мира рушится. А ведь всё так понятно было...

А я вам про это ещё тут говорил: post1322941.html#p1322941

[upgrade]

Pavia в сообщении #1339004 писал(а):

$\int y dy$ это не тоже самое что и $\int dy\cdot y$

не тоже самое если так
$\int d(y\cdot y)$

[SNet]

Guvertod
Спасибо за очень подробное объяснение! Теперь я попробую приложить его к физике.

Но в самом начале вот что. Пусть задача некоторая функция $f(x)$ (гладкая, как в физике). Тогда её приращение можно записать как $f(x + dx) - f(x) = df + \sigma(dx)$, где $\sigma(dx)$ -- бесконечно малая более высокого порядка, чем $dx$ (помним, что $dx = f'(x)\Deltax$. "На пальцах" это означает, что если зафиксировать точку $x_0$ и брать $x - x_0$ всё меньше и меньше, то $\Deltaf(x)$ будет всё больше и больше походить на $df$. В пределе они должны точно сравняться. В этом смысле $df$ можно интерпретировать как приращение $f(x)$ при "очень малом изменении аргумента". Сразу ощущаю, что трудно будет формализовать "очень малое изменение аргумента". Но это не нужно, ибо прямо сейчас я перехожу к физике.
Пусть точка движется по закону $s(t)$ вдоль своей траектории. Тогда её смещение представимо как $s(t + dt) - s(t) = ds + \sigma(dt)$. Если мы будем брать всё меньшие и меньшие промежутки времени, то рано или поздно в физическом процессе смещения роль $\sigma(dt)$ станет незначительной по сравнению с $ds$ и ей можно будет пренебречь, так что в этом смысле $ds$ будет бесконечно малым смещением. Разумеется, в первую очередь это не величина, а функция, но её значения описывают эти "поведения в бесконечно близкие моменты времени" в каждой точке траектории. И снова возвращаюсь на круги своя...
Изменилось разве что то, что я теперь вижу в $ds$ характер функции, но ведь такой, которая описывает процесс в бесконечно малых областях времени! А... чтобы не формализовывать "бесконечно малые области времени" скажем так: реальный процесс стремится к описываемому $ds$ при уменьшении промежутков времени, и в пределе совпадает с ним. То есть да, фактически это никогда не какое-то смещение, но то, что характеризует реальное движение "в пределе". Вот так вот верно?


Munin
То есть нельзя говорить "Элемент массы $dm$"? Хотя, кажется, тут та же ситуация, что и с дифференциалом. Ведь если выполняется написанное вами интегральное соотношение, то в пределе это и означает суммирование "кусочков".

[Munin]

SNet в сообщении #1339016 писал(а):

Munin
То есть нельзя говорить "Элемент массы $dm$"?

Физикам можно :-) Но с пониманием, что под этим подразумевается.

1. На уровне физических рассуждений о реальности, о телах, о массе - это то же самое, что "элемент массы $\Delta m$". Этому элементу можно присвоить объём, положение (как материальной точке), скорость, угловую скорость (иногда), силу тяжести, температуру, тепловую энергию, и так далее, и так далее.

2. Как только эти физические величины связываются между собой какими-то формулами, это оказываются формулы вышеупомянутых типов: "производная равна..." и "дифференциал равен...". С момента написания формулы, включаются стандартные правила матанализа.

3. Иногда часть элементарных выкладок физики могут проводить "на пальцах" на границе между пунктами 1 и 2. При этом часто произносятся вещи типа "так как элемент $dm$ мал, то можно отбросить все слагаемые высших порядков малости (пропорциональные $dm^2,dm^3\ldots$)". Понимать это надо так: если проделывать вычисления на уровне пункта 2, по правилам матанализа, то соответствующие слагаемые вообще не появятся.

(Оффтоп)

Можно понимать это так: физики помнят про определение производной

$$\dfrac{df}{dx}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}.$$
При этом, они сначала проводят выкладки "под знаком предела", а потом упрощают их, вспоминая, что при взятии предела некоторые слагаемые обнулятся. То, что физики при этом произносят $dm,$ а не $\Delta m,$ - позволительная в физическом контексте небрежность. Сам по себе подобный стиль рассуждений - математически нестрог и может приводить к ошибкам, так что лучше всё-таки всё проверять честными строгими математическими вычислениями. Но при пересказывании физики в учебниках он может помогать понять суть явления и физическую интуицию за формулами. Разумеется, в учебники попадают только те рассуждения, которые заведомо проверены и чисты от ошибок.

4. Иногда рассуждения о порядках малости встречаются на более серьёзном уровне, например, в учебниках теоретической физики. Там их следует понимать в строгом смысле (как порядки малости бесконечно малых функций, и как последовательные члены ряда Тейлора / Лорана).

[SNet]

Munin
То есть получается следующее: физическая интерпретация не соответствует природе математического объекта, но особо ей не противоречит, так что можно использовать и в определённых границах свободно переключаться с одного на другое? Мы как бы понимаем под $dm$ элемент массы, тем самым достаточно точно отображаем физический смысл соотношений, но как только захотим как-то оперировать с этим объектом, то нужно будет вмиг на этом промежуточном этапе (до результата) вспомнить его математическую природу и действовать в соответствии с ней.

[Munin]

SNet в сообщении #1339031 писал(а):

То есть получается следующее: физическая интерпретация не соответствует природе математического объекта, но особо ей не противоречит, так что можно использовать и в определённых границах свободно переключаться с одного на другое?

Да, примерно так.

Тут упоминался учебник Савельева, там в первых параграфах есть отдельный параграф на эту тему. Рекомендую найти и прочесть.

Никакая физическая реальность пока ещё в точности не соответствует никакому математическому объекту. Физики мирятся с этим несоответствием, загоняя его "в пределы погрешности". (В практических задачах погрешность устанавливается такой, какая достаточна для практических нужд. В фундаментальных исследованиях погрешность устанавливается наилучшей, которая достижима экспериментальными приборами и методами на сегодняшний день - эта величина переменная и со временем улучшается, однако улучшения крайне трудны и дорогостоящи.) Различные физические теории:
- могут согласовываться с экспериментом довольно грубо, но лучше теории на замену нет - тогда это полагают погрешностью теории;
- могут согласовываться с экспериментом в рамках или на грани экспериментальной погрешности - тогда это область активных исследований;
- могут согласовываться с экспериментом прекрасно на протяжении десятилетий или столетий, укладываясь в экспериментальную погрешность, как бы она ни уменьшалась (иногда на много порядков!) - тогда это прекрасные теории.
Примеры таких теорий: квантовая физика, ОТО; теория тяготения Ньютона на протяжении с 17 по конец 19 века.

Рассмотрим пару примеров: $v=ds/dt,$ $dm=\rho\,dV.$ С точки зрения математики, эти соотношения возникают из конечных соотношений типа $v_\text{ср}=\Delta s/\Delta t,$ $\Delta m=\rho_\text{ср}\Delta V.$ Насчёт конечных соотношений физики и математики вполне согласны, но хочется "отбрасывать слагаемые высших порядков малости", упрощая выкладки. С точки зрения математики, это можно сделать, если взять пределы $\lim\limits_{\Delta t\to 0},$ $\lim\limits_{\Delta V\to 0}.$ Но физики знают, что не могут взять таких пределов. При устремлении $\Delta t\to 0,$ наступает момент, когда из-за квантовой неопределённости погрешность $v_\text{ср}$ начинает не уменьшаться, а расти. (На самом деле, такой момент часто наступает раньше из-за других причин.) При устремлении $\Delta V\to 0,$ мы рано или поздно натыкаемся на атомарную структуру вещества, и вместо гладкой функции $\rho_\text{ср}$ опять же получается ерунда. Так что физики смотрят на эти формулы как на некоторую идеальную картину, в которую хочется поверить, но до конца не верится. Они применяют формулы $v=ds/dt,$ $dm=\rho\,dV$ в их области применимости: при достаточно больших интервалах времени, при достаточно больших элементах объёма. Помнить про область применимости - естественно для физика, но математики привыкли смотреть на любой факт как на верный всегда и везде.

-- 14.09.2018 20:37:53 --

То есть, физики работают с $dm$ как с математическим объектом, доводят выкладки до точного математического вывода, а потом смотрят: а не вышел ли этот вывод за границы применимости, как их представляют себе физики? Границы применимости удобно представлять себе как интервалы на шкалах физических величин. Например, мы знаем, что межатомные расстояния в твёрдом теле - порядка $10^{-10}\text{ м}=1\text{ \AA}.$ Тогда мы можем пользоваться выводами, сделанными из формулы $dm=\rho\,dV,$ если эти выводы касаются масштабов в миллиметры, метры, километры.

[EUgeneUS]

SNet в сообщении #1339007 писал(а):

Моя картина мира рушится. А ведь всё так понятно было...

Ваша картина мира рушится, потому что Вы под одним из её углов обнаружили пустоту. Примерно как на космодроме Восточный.
Если Вы не убежите в панике с криком "ААААААААА", то окажется, что картина мира осталась примерно той же самой, а где была пустота оказался бетонный фундамент. Опять же, примерно как на космодроме Восточный

-- 14.09.2018, 20:53 --

SNet
иногда хочется сказать ярко, ясно и кратко:

EUgeneUS в сообщении #1338746 писал(а):

Всё наглядно, если не забывать, что за каждым $dx$ маячит предельный переход $\Delta x \to 0$.

Но потом приходит уважаемый Munin и говорит чуть более длинно, но гораздо более ясно:

Munin в сообщении #1339035 писал(а):

Рассмотрим пару примеров: $v=ds/dt,$ $dm=\rho\,dV.$ С точки зрения математики, эти соотношения возникают из конечных соотношений типа $v_\text{ср}=\Delta s/\Delta t,$ $\Delta m=\rho_\text{ср}\Delta V.$ Насчёт конечных соотношений физики и математики вполне согласны, но хочется "отбрасывать слагаемые высших порядков малости", упрощая выкладки. С точки зрения математики, это можно сделать, если взять пределы $\lim\limits_{\Delta t\to 0},$ $\lim\limits_{\Delta V\to 0}.$

"Интерпретация Лейбница" (отличаем её от "нотации Лейбница") работает потому, что иногда (в физических приложениях - почти всегда) можно сначала что-то сделать с конечными приращениями, а потом выполнить предельный переход ($\Delta t\to 0$ или $\Delta V\to 0$).

[Pphantom]

Munin в сообщении #1338971 писал(а):

Мы-то это понимаем. Но педагогически надо, видимо, как-то это рассмотреть отдельно и пояснить.

Ну так это обычно даже поясняется. Сейчас пересматривать разные курсы еще раз лень, но я точно помню, что у Сивухина и в Берклеевском курсе это явно обсуждается и разжевывается, Матвеев/Савельев в этом смысле лаконичнее, но совсем уж без внимания этот вопрос и там не остается.

-- 14.09.2018, 23:23 --

Pavia в сообщении #1339004 писал(а):

Не надо учить плохому!
$\int y dy$ это не тоже самое что и $\int dy\cdot y$

Pavia, запись вроде

Guvertod в сообщении #1338976 писал(а):

$$\int dyf(y)=\int dxy'f(y(x))$$

является совершенно стандартной и для математиков, и для физиков (и во многих отношениях ранее знакомство с ней даже весьма полезно).

Pavia в сообщении #1339004 писал(а):

Ни в коем рази не числа - потом будут проблемы с частными производными.

Строго говоря, функции, но не суть. Так делать с дифференциалами можно и нужно. То, что кто-то потом не видит разницы между $df/dx$ и $\partial f/\partial x$ - не повод запрещать корректный метод, это скорее проблема того, кто не умеет отличать один символ от другого.