2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Определение o(f)
Сообщение13.09.2018, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2519
Москва
Ivan_B в сообщении #1338749 писал(а):
По аналогии должно было получится $o(f)$. Скорее всего я вообще не понял идею.
Не должно было. Если $g = o(f)$ и $h = o(f)$, то есть $g = \alpha \cdot f$ и $h = \beta \cdot f$, где $\alpha$ и $\beta$ - бесконечно малые, то $g \cdot f = (\alpha \cdot \beta) \cdot f^2 = \gamma \cdot f^2$, где $\gamma = \alpha \cdot \beta$ - тоже бесконечно малая. А значит $gh = o(f^2)$.
Упражнение: докажите равенство в обратную сторону, т.е. если $k = \gamma \cdot f^2$, где $\gamma$ - бесконечно малая, то существуют такие $g$ и $h$ и бесконечно малые $\alpha$ и $\beta$, что $g = \alpha \cdot f$, $h = \beta \cdot f$, $g \cdot h = k$.
thething в сообщении #1338744 писал(а):
При этом никто не запрещает написать $o(g)=\alpha\cdot g$, понимая тут, по определению, "равно".
Не очень понятно (чисто синтаксически), что значит "понимая по определению "равно"".

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение o(f)
Сообщение13.09.2018, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1028
Антарктика
mihaild в сообщении #1338751 писал(а):
Не очень понятно (чисто синтаксически), что значит "понимая по определению "равно"".

Всмысле, функцию $o(g)$ можно представить в виде $\alpha\cdot g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение o(f)
Сообщение13.09.2018, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2519
Москва
thething в сообщении #1338753 писал(а):
функцию $o(g)$
Это же не функция. И я не могу придумать простого способа воспринимать это как функцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение o(f)
Сообщение13.09.2018, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5881
Это такой сокращённый способ сказать "функция, которая является $o(g)$". Учитывая (похвальное) стремление ТС объединить формальное и неформальное понимание, я бы поостерёгся в этой теме допускать такие вольности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение o(f)
Сообщение14.09.2018, 03:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1028
Антарктика
grizzly в сообщении #1338767 писал(а):
Это такой сокращённый способ сказать "функция, которая является $o(g)$".

Угу. Только если думать, как ТС, что o-малое -- это лишь "сокращённая запись, не функция, не множество...", как понимать выражения вида $\lim\limits_{x\to a}^{}o(1)=0$? Не вижу ничего криминального в том, чтобы считать, что о-малое -- это функция -- некоторый представитель класса функций с определенным поведением. Надо только понимать, что в нее ничего не подставишь и график не нарисуешь, и знаки равенства читать только в одну сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение o(f)
Сообщение14.09.2018, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
693
матмех спбгу
thething в сообщении #1338816 писал(а):
Не вижу ничего криминального в том, чтобы считать, что о-малое -- это функция -- некоторый представитель класса функций с определенным поведением.

Криминальным это ведь стало с некоторых пор, когда появились современные определения $o(f)$ и $O(f)$ как множества, а не как сокращенной записи для некоторой функции с данным асимптотическим свойством, что изначально и вкладывалось в смысл этих символов (пруф см. по ссылке из английской википедии на книгу Bachmann, Paul. Analytische Zahlentheorie). Не удивительно, что человек, впервые сталкивающийся с современным извращенным определением, совершенно не понимает, причем тут множества, какие-то альфы и что вообще происходит (ситуация, кстати, типичная для многих понятий и теорем математики, в которых изначальная ясная мысль замылена в современной формулировке). С таким определением нельзя использовать $o$-нотацию в неравенствах (а иногда это хочется): однажды приходилось слышать жалобу по этому поводу от преподавателя, что его заставили изменить места в методичке, где использована $o$-нотация в неравенствах, в связи с современным определением. Может кто из более опытных участников форума, кого этот вопрос также интересовал, подскажет с какого "реформатора" это началось.

Простите, если это совсем оффтоп. Можно вынести в отдельную тему в вопросах преподавания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение o(f)
Сообщение14.09.2018, 12:19 


30/01/17
206
mihaild в сообщении #1338751 писал(а):
Упражнение: докажите равенство в обратную сторону, т.е. если $k = \gamma \cdot f^2$, где $\gamma$ - бесконечно малая, то существуют такие $g$ и $h$ и бесконечно малые $\alpha$ и $\beta$, что $g = \alpha \cdot f$, $h = \beta \cdot f$, $g \cdot h = k$.

Если существуют бесконечно малые $\alpha$ и $\beta$, такие, что $\gamma=\alpha\cdot\beta$, то $g = \alpha \cdot f$, $h = \beta \cdot f$, тогда $g \cdot h = k$. Поэтому нужно показать, что $\alpha$ и $\beta$ существуют. Например,
$\alpha=\begin{cases} \sqrt{|\gamma|}, \;\;\; \gamma\geqslant 0 \\ -\sqrt{|\gamma|}, \;\; \gamma< 0 \end{cases} \qquad\qquad \beta=\sqrt{|\gamma|}$,
которые тоже бесконечно малые т.к. корень непрерывный.

thething в сообщении #1338816 писал(а):
если думать, как ТС, что o-малое -- это лишь "сокращённая запись, не функция, не множество...", как понимать выражения вида $\lim\limits_{x\to a}^{}o(1)=0$?

Я понимаю так: Если написано $o(\cdot)$, должна быть база. То есть $o(1), \text{при} x\to a$. Дальше в пределе механически заменяю сокращенную запись на развернутую версию $\lim\limits_{x\to a}\alpha(x)\cdot 1=0$, поскольку $\alpha$ - бесконечно малая при $x\to a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение o(f)
Сообщение14.09.2018, 15:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1028
Антарктика
Ivan_B в сообщении #1338894 писал(а):
То есть $o(1), \text{при} x\to a$.

Оно просто так само по себе никогда не стоит, а стоит справа от знака равенства.. В-общем, Вы сами работаете с ней далее, как с функцией, так чего не считать ее функцией (непривычно заданной, непонятного вида, только с одним известным локальным свойством, но всё же -- функцией)? Механически вы ее подставляете или нет -- неважно. Зато понимание о-малой, как некоей функции поможет Вам далее быстрее понять определение дифференцируемости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение o(f)
Сообщение14.09.2018, 19:06 


30/01/17
206
thething в сообщении #1338941 писал(а):
В-общем, Вы сами работаете с ней далее, как с функцией, так чего не считать ее функцией (непривычно заданной, непонятного вида, только с одним известным локальным свойством, но всё же -- функцией)?

Чем считать $o(\cdot)$ я не знаю. Предполагаю что там все не так просто. Поэтому мне нужно было нечто, при помощи чего можно было бы проверять интуитивное понимание и самостоятельно разбираться, когда написано что-то непонятное. Например, я интуитивно понял, что $o(\cdot)$ функция бесконечно малая по сравнению с исходной. Тогда может показаться, что $o(o(f))$ - бесконечно малая в сравнении с бесконечно малой в сравнении с исходной. Дальше, с одной стороны как бы одна функция, с другой не одна функция, значит на выходе я получу... на этом этапе я понимаю, что запутался. Нужно взять и все сделать по определению, но определения $o(\cdot)$ у меня нет. Есть равенство, про которое я интуитивно знаю, что это не совсем равенство и свойств этого "нового" равенства я не знаю, значит записать все формально я уже не могу. В Зориче был похожий пример про $o(f)+o(f)$, я сделал аналогично и все получилось. После этого у меня появилась идея использовать прием из примера как определение. Проблема в том, что я не разобрался с вопросом, но уже придумываю(угадываю) определение. Поэтому я и решил спросить верна ли моя догадка(это и есть мой исходный вопрос) Похоже, что я все таки угадал и теперь могу формально проверять выражения с $o(\cdot)$. Это то, что мне было нужно.

thething, mihaild
Спасибо, что разобрали со мной исходное определение. Теперь оно мне понятно.

grizzly
Спасибо за подсказки касательно того как понять $o(\cdot)$ интуитивно. Сейчас мне все это пригодится.

demolishka в сообщении #1338881 писал(а):
современные определения $o(f)$ и $O(f)$ как множества

Хоть Вы это писали и не мне, но прочесть было полезно. Теперь я знаю, что до полного понимания $o(\cdot)$ еще очень далеко. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение o(f)
Сообщение14.09.2018, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1028
Антарктика
Ivan_B в сообщении #1339006 писал(а):
Тогда может показаться, что $o(o(f))$ - бесконечно малая в сравнении с бесконечно малой в сравнении с исходной.

А как на самом деле, Вы понимаете?
Ещё, лично мне в этой нотации очень нравятся такие преобразования: $o(f)=o(1)\cdot f$, т.е. это обычное вынесение за скобки\внесение в скобки

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение o(f)
Сообщение14.09.2018, 19:43 


30/01/17
206
thething в сообщении #1339012 писал(а):
А как на самом деле, Вы понимаете?

Формально $o(o(f))=o(f)$. Это следствие того, что произведение бесконечно малых - бесконечно малая. Интуитивно $o(f)$ - это не одна функция и среди них есть те, которые бесконечно малые по отношению к другим из той же группы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group