Определение o(f)

[mihaild]

Ivan_B в сообщении #1338749 писал(а):

По аналогии должно было получится $o(f)$. Скорее всего я вообще не понял идею.

Не должно было. Если $g = o(f)$ и $h = o(f)$, то есть $g = \alpha \cdot f$ и $h = \beta \cdot f$, где $\alpha$ и $\beta$ - бесконечно малые, то $g \cdot f = (\alpha \cdot \beta) \cdot f^2 = \gamma \cdot f^2$, где $\gamma = \alpha \cdot \beta$ - тоже бесконечно малая. А значит $gh = o(f^2)$.
Упражнение: докажите равенство в обратную сторону, т.е. если $k = \gamma \cdot f^2$, где $\gamma$ - бесконечно малая, то существуют такие $g$ и $h$ и бесконечно малые $\alpha$ и $\beta$, что $g = \alpha \cdot f$, $h = \beta \cdot f$, $g \cdot h = k$.

thething в сообщении #1338744 писал(а):

При этом никто не запрещает написать $o(g)=\alpha\cdot g$, понимая тут, по определению, "равно".

Не очень понятно (чисто синтаксически), что значит "понимая по определению "равно"".

[thething]

mihaild в сообщении #1338751 писал(а):

Не очень понятно (чисто синтаксически), что значит "понимая по определению "равно"".

Всмысле, функцию $o(g)$ можно представить в виде $\alpha\cdot g$.

[mihaild]

thething в сообщении #1338753 писал(а):

функцию $o(g)$

Это же не функция. И я не могу придумать простого способа воспринимать это как функцию.

[grizzly]

Это такой сокращённый способ сказать "функция, которая является $o(g)$". Учитывая (похвальное) стремление ТС объединить формальное и неформальное понимание, я бы поостерёгся в этой теме допускать такие вольности.

[thething]

grizzly в сообщении #1338767 писал(а):

Это такой сокращённый способ сказать "функция, которая является $o(g)$".

Угу. Только если думать, как ТС, что o-малое -- это лишь "сокращённая запись, не функция, не множество...", как понимать выражения вида $\lim\limits_{x\to a}^{}o(1)=0$? Не вижу ничего криминального в том, чтобы считать, что о-малое -- это функция -- некоторый представитель класса функций с определенным поведением. Надо только понимать, что в нее ничего не подставишь и график не нарисуешь, и знаки равенства читать только в одну сторону.

[demolishka]

thething в сообщении #1338816 писал(а):

Не вижу ничего криминального в том, чтобы считать, что о-малое -- это функция -- некоторый представитель класса функций с определенным поведением.

Криминальным это ведь стало с некоторых пор, когда появились современные определения $o(f)$ и $O(f)$ как множества, а не как сокращенной записи для некоторой функции с данным асимптотическим свойством, что изначально и вкладывалось в смысл этих символов (пруф см. по ссылке из английской википедии на книгу Bachmann, Paul. Analytische Zahlentheorie). Не удивительно, что человек, впервые сталкивающийся с современным извращенным определением, совершенно не понимает, причем тут множества, какие-то альфы и что вообще происходит (ситуация, кстати, типичная для многих понятий и теорем математики, в которых изначальная ясная мысль замылена в современной формулировке). С таким определением нельзя использовать $o$-нотацию в неравенствах (а иногда это хочется): однажды приходилось слышать жалобу по этому поводу от преподавателя, что его заставили изменить места в методичке, где использована $o$-нотация в неравенствах, в связи с современным определением. Может кто из более опытных участников форума, кого этот вопрос также интересовал, подскажет с какого "реформатора" это началось.

Простите, если это совсем оффтоп. Можно вынести в отдельную тему в вопросах преподавания.

[Ivan_B]

mihaild в сообщении #1338751 писал(а):

Упражнение: докажите равенство в обратную сторону, т.е. если $k = \gamma \cdot f^2$, где $\gamma$ - бесконечно малая, то существуют такие $g$ и $h$ и бесконечно малые $\alpha$ и $\beta$, что $g = \alpha \cdot f$, $h = \beta \cdot f$, $g \cdot h = k$.

Если существуют бесконечно малые $\alpha$ и $\beta$, такие, что $\gamma=\alpha\cdot\beta$, то $g = \alpha \cdot f$, $h = \beta \cdot f$, тогда $g \cdot h = k$. Поэтому нужно показать, что $\alpha$ и $\beta$ существуют. Например,
$\alpha=\begin{cases} \sqrt{|\gamma|}, \;\;\; \gamma\geqslant 0 \\ -\sqrt{|\gamma|}, \;\; \gamma< 0 \end{cases} \qquad\qquad \beta=\sqrt{|\gamma|}$,
которые тоже бесконечно малые т.к. корень непрерывный.

thething в сообщении #1338816 писал(а):

если думать, как ТС, что o-малое -- это лишь "сокращённая запись, не функция, не множество...", как понимать выражения вида $\lim\limits_{x\to a}^{}o(1)=0$?

Я понимаю так: Если написано $o(\cdot)$, должна быть база. То есть $o(1), \text{при} x\to a$. Дальше в пределе механически заменяю сокращенную запись на развернутую версию $\lim\limits_{x\to a}\alpha(x)\cdot 1=0$, поскольку $\alpha$ - бесконечно малая при $x\to a$

[thething]

Ivan_B в сообщении #1338894 писал(а):

То есть $o(1), \text{при} x\to a$.

Оно просто так само по себе никогда не стоит, а стоит справа от знака равенства.. В-общем, Вы сами работаете с ней далее, как с функцией, так чего не считать ее функцией (непривычно заданной, непонятного вида, только с одним известным локальным свойством, но всё же -- функцией)? Механически вы ее подставляете или нет -- неважно. Зато понимание о-малой, как некоей функции поможет Вам далее быстрее понять определение дифференцируемости.

[Ivan_B]

thething в сообщении #1338941 писал(а):

В-общем, Вы сами работаете с ней далее, как с функцией, так чего не считать ее функцией (непривычно заданной, непонятного вида, только с одним известным локальным свойством, но всё же -- функцией)?

Чем считать $o(\cdot)$ я не знаю. Предполагаю что там все не так просто. Поэтому мне нужно было нечто, при помощи чего можно было бы проверять интуитивное понимание и самостоятельно разбираться, когда написано что-то непонятное. Например, я интуитивно понял, что $o(\cdot)$ функция бесконечно малая по сравнению с исходной. Тогда может показаться, что $o(o(f))$ - бесконечно малая в сравнении с бесконечно малой в сравнении с исходной. Дальше, с одной стороны как бы одна функция, с другой не одна функция, значит на выходе я получу... на этом этапе я понимаю, что запутался. Нужно взять и все сделать по определению, но определения $o(\cdot)$ у меня нет. Есть равенство, про которое я интуитивно знаю, что это не совсем равенство и свойств этого "нового" равенства я не знаю, значит записать все формально я уже не могу. В Зориче был похожий пример про $o(f)+o(f)$, я сделал аналогично и все получилось. После этого у меня появилась идея использовать прием из примера как определение. Проблема в том, что я не разобрался с вопросом, но уже придумываю(угадываю) определение. Поэтому я и решил спросить верна ли моя догадка(это и есть мой исходный вопрос) Похоже, что я все таки угадал и теперь могу формально проверять выражения с $o(\cdot)$. Это то, что мне было нужно.

thething, mihaild
Спасибо, что разобрали со мной исходное определение. Теперь оно мне понятно.

grizzly
Спасибо за подсказки касательно того как понять $o(\cdot)$ интуитивно. Сейчас мне все это пригодится.

demolishka в сообщении #1338881 писал(а):

современные определения $o(f)$ и $O(f)$ как множества

Хоть Вы это писали и не мне, но прочесть было полезно. Теперь я знаю, что до полного понимания $o(\cdot)$ еще очень далеко. Спасибо.

[thething]

Ivan_B в сообщении #1339006 писал(а):

Тогда может показаться, что $o(o(f))$ - бесконечно малая в сравнении с бесконечно малой в сравнении с исходной.

А как на самом деле, Вы понимаете?
Ещё, лично мне в этой нотации очень нравятся такие преобразования: $o(f)=o(1)\cdot f$, т.е. это обычное вынесение за скобки\внесение в скобки

[Ivan_B]

thething в сообщении #1339012 писал(а):

А как на самом деле, Вы понимаете?

Формально $o(o(f))=o(f)$. Это следствие того, что произведение бесконечно малых - бесконечно малая. Интуитивно $o(f)$ - это не одна функция и среди них есть те, которые бесконечно малые по отношению к другим из той же группы.