SNet, постараюсь объяснить развернуто, как мне кажется, лучше всего вам это сейчас воспринимать:
Какое определения дифференциала?
Дифференциал функции

в точке
есть функция 
, где

- любое число.
Для красоты и удобства можно ввести

- "дифференциал аргумента в точке

" и записать:
И далее уже не важно, чему именно равно это

, дифференциалы используются тут как связанные переменные ( называя их переменными, я подразумеваю их значение, формально они функции) и
никогда явно не приравниваются к конкретным числам!Часто, особенно в физике, нет разделения на функцию

и аргумент

, а есть просто различные величины ,зависящие друг от друга.
(в данном случае
я расписываю все для одномерного случая, когда величина явно выражается через одну другую
*).
И в этом смысле совершенно не важно, что изначально было принятно за

, а что за "дифференциал функции".
Поэтому можно так же (если такая функция

есть) положить и

,

, так или иначе мы придем
к конкретной линейной связи между переменными

и

.
Можно записывать связь с третьей (при параметризации) :
Зачем это нужно?
В первую очередь введение дифференциалов позволяет нам комфортнее работать с производными. Например, мы можем сокращать их (значения - это же просто числа!):

Ничего нового мы тут не получили (формула для производной композиции известна, а условия эквивалентны условиям на возможность введения такого определения), но согласитесь, это выглядит нагляднее и приятнее.
Также мы можем теперь вести записи выражений с производными в виде

(поделить на нужный дифференциал и получить соответствующую производную всегда успеем!).
И так далее.
Но если дифференциалы принимают значения в виде обычных чисел, то почему их часто неформально называют "бесконечно малыми"?
1)Во-первых, с точки зрения физики, если мы говорим о величине вроде скорости

, то, подразумевая, что измерить время и расстояние можно не сколько угодно малыми (нас ограничивает шкала линейки и часов), можем записать

(

и

- маленькие, насколько возможно, значения изменений расстояния и времени).
Чем более мелкое изменение этих величин мы можем измерить, тем формула точнее. В этом смысле можно неформально трактовать запись

как случай "предельно точного измерения".
То есть когда

и

"
бесконечно малые".
В физике порой их можно условно считать очень малыми, но конечными значениями (в зависимости от задачи).
2) Часто допускается "слишком вольное" обращение с дифференциалом:
Например, если нужно найти производную от

, то мы должны формально взять предел

выражения

(хотя бы интуитивно вы эту операцию уже понимаете).
И тут "возникает соблазн" после подставления определения

приравнять числитель сразу к

:

, что
неверно (ведь

)!
Однако, если мы положим

, то равенство станет верным (интуитивно должно быть понятно, почему в таких случаях так получается)!
Поэтому, удобно при всех таких вычислениях записывать и нелинейную связь между дифференциалами, "пренебрегая" (просто убирая их) величинами "другого порядка" (чтобы получить правильную
линейную связь).
В этом смысле можно сказать так же, что

- "бесконечно малая величина" и выражения типа

есть на самом деле

(т.к "прибавление бесконечно малой к числу ничего не изменит",

)
Поэтому имеет место быть и такое понимание-определение, но повторюсь, что
оно неформальное.
Что насчет интегрирования?
Смысл значка

в записи

вовсе не соответствует введенному определению,
он именно
неразделимый с значком интеграла значок !
Но все же, например, при замене переменных, оказывается, что он ведет себя точно также:

И вообще, с этим обозначением нам становится психологически более комфортнее переходить от дифференциальной записи

к

(обоснование которого совсем не связано с понятием дифференциала)
Мы как-бы можем теперь воспринимать это как формальное навешивание

на выражение

Поэтому целесообразно условно обобщить определение:
И просто подразумевать, что мы можем свободно выполнять с дифференциалом все подобные манипуляции (раз математически это же корректно!) и это есть суть одно и тоже.
* В многомерном случае все также обобщается, дифференциал

в

есть

.
С ним работаем в этом же духе, не забывая различать отношение дифференциалов и частные производные.
Аналогично с многомерным интегрированием по

, там дифференциалы при замене переменных ведут себя "как положено"...
Так же уже должно быть понятно, что такое дифференциал вектора

(можно определить хотя бы по компонентам), что используется в физике.
Часто бывает удобно ставить дифференциал перед большим выражением типа

(понятно что это есть), поэтому окончательно обобщаем:
Этого общего неформального понимания для работы с выражениями в физике должно быть вам достаточно.