Обозначения асимптотического поведения

[mihaild]

Навеяно «Определение o(f)».
Случайно пришло в голову - кажется можно очень простым преобразованием все формулы типа $f(x) = o(x) = O(\sqrt{x})$ привести в строгий вид (под $o(f)$, $O(f)$ и т.д. понимаем соответствующие множества функций, операции поэлементные):
1. Берем цепочку равенств $t_1 = t_2 = t_3 = \ldots$ ($t_n$ - некоторые выражения, содержащие или не содержащие асимптотические обозначения).
2. Если $t_n$ не содержит асимптотическое обозначение, а $t_{n + 1}$ содержит, то заменяем $t_n = t_{n + 1}$ на $t_n \in t_{n + 1}$.
3. Если $t_n$ и $t_{n + 1}$ содержат асимптотические обозначения, то заменяем $t_n = t_{n + 1}$ на $t_n \subseteq t_{n + 1}$.
4. Если $t_n$ содержит асимптотическое обозначение, а $t_{n + 1}$ нет, то запись некорректна.

Т.е. знак равенства перед первым термом, содержащим асимптотическое обозначение, заменяем на $\in$, а последующие - на $\subseteq$.

Я навскидку не могу придумать примера разумной записи, которая при такой формализации становится некорректной или меняет смысл. Кажется что если таких правда нет, то это неплохой способ вводить асимптотические обозначения - вводим их честно как классы функций, и отдельно договариваемся о синтаксисе с равенством.

[не уверен, в дискуссионные это темы или в вопросы преподавания, или вообще в ПРР, если я не вижу какой-то очевидной проблемы такого подхода]

[ex-math]

Есть еще знак Виноградова $\ll$ (применяется в обе стороны) и знак Харди $\asymp$, а также обычная эквивалентность $\sim$. Вы их учли?

[mihaild]

Это обычные знаки отношений, $\ll$ несимметричный, $\asymp$ и $\sim$ симметричные. С ними проблем не вижу.
Проблему вижу именно с $o$ и $O$, потому что там используется знак равенства, который обычно означает симметричное и транзитивное отношение.

[ex-math]

Есть еще $\Omega$. С ней Ваше предложение вроде тоже проходит. Да некоторые даже так и пишут, как будто встречал эти знаки принадлежности и включения в таком контексте.