2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обозначения асимптотического поведения
Сообщение13.09.2018, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9207
Цюрих
Навеяно «Определение o(f)».
Случайно пришло в голову - кажется можно очень простым преобразованием все формулы типа $f(x) = o(x) = O(\sqrt{x})$ привести в строгий вид (под $o(f)$, $O(f)$ и т.д. понимаем соответствующие множества функций, операции поэлементные):
1. Берем цепочку равенств $t_1 = t_2 = t_3 = \ldots$ ($t_n$ - некоторые выражения, содержащие или не содержащие асимптотические обозначения).
2. Если $t_n$ не содержит асимптотическое обозначение, а $t_{n + 1}$ содержит, то заменяем $t_n = t_{n + 1}$ на $t_n \in t_{n + 1}$.
3. Если $t_n$ и $t_{n + 1}$ содержат асимптотические обозначения, то заменяем $t_n = t_{n + 1}$ на $t_n \subseteq t_{n + 1}$.
4. Если $t_n$ содержит асимптотическое обозначение, а $t_{n + 1}$ нет, то запись некорректна.

Т.е. знак равенства перед первым термом, содержащим асимптотическое обозначение, заменяем на $\in$, а последующие - на $\subseteq$.

Я навскидку не могу придумать примера разумной записи, которая при такой формализации становится некорректной или меняет смысл. Кажется что если таких правда нет, то это неплохой способ вводить асимптотические обозначения - вводим их честно как классы функций, и отдельно договариваемся о синтаксисе с равенством.

[не уверен, в дискуссионные это темы или в вопросы преподавания, или вообще в ПРР, если я не вижу какой-то очевидной проблемы такого подхода]

 Профиль  
                  
 
 Re: Обозначения асимптотического поведения
Сообщение13.09.2018, 20:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Есть еще знак Виноградова $\ll$ (применяется в обе стороны) и знак Харди $\asymp$, а также обычная эквивалентность $\sim$. Вы их учли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обозначения асимптотического поведения
Сообщение13.09.2018, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9207
Цюрих
Это обычные знаки отношений, $\ll$ несимметричный, $\asymp$ и $\sim$ симметричные. С ними проблем не вижу.
Проблему вижу именно с $o$ и $O$, потому что там используется знак равенства, который обычно означает симметричное и транзитивное отношение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обозначения асимптотического поведения
Сообщение13.09.2018, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Есть еще $\Omega$. С ней Ваше предложение вроде тоже проходит. Да некоторые даже так и пишут, как будто встречал эти знаки принадлежности и включения в таком контексте.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Stratim


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group