Интуитивное понимание тензорного произведения

[vpb]

То, что Вы написали, чересчур кратко. По этому тексту можно предположить, что Вы задачу решили, однако точно это неизвестно. Попробуйте писать более детально и педантично, с формулами и т.д. А то и мне непонятно, насколько Вы понимаете (но я хоть могу составить предположение, так как знаю, в чем состоят правильные и полные рассуждения, а человек, который не знает решения заранее, не сможет); и Вы сами можете попутаться.

Для примеру. Есть разные учебники по алгебре: Винберг, Кострикин, Калужнин. Винберг весьма лаконичен, Кострикин более педантичен, а Калужнин еще более. (ван дер Варден где-то в районе Калужнина, но он вообще более сложен гораздо, и притом старомоден. Городенцев же по стилю хуже Винберга). Лучше бы Вы писали в стиле ближе к Калужнину.

[ikozyrev]

vpb в сообщении #1335527 писал(а):

Лучше бы Вы писали в стиле ближе к Калужнину.

Расписал подробнее:

(Оффтоп)

Любой элемент $x\in L$ представляется в виде $x=\sum_{i=1}^m \lambda_i a_ib_i$, где $a_i\in A$, $b_i\in B$, $\lambda_i \in \mathbb{R}$. Поскольку $dim(A)=dim(B)=4$, то $a_i=\sum_{j=1}^4 \alpha_{ij} e_j$, $b_i=\sum_{k=1}^4 \beta_{ik} f_k$, где ${e_1, e_2, e_3, e_4}$ - базис $A$, ${f_1, f_2, f_3, f_4}$ - базис $B$, $\alpha_{ij} \in \mathbb{R}$, $\beta_{ik} \in \mathbb{R}$. Тогда $x=\sum_{i=1}^m (\lambda_i (\sum_{j=1}^4 \alpha_{ij} e_j)(\sum_{k=1}^4 \beta_{ik} f_k))=$$\sum_{i=1}^m (\lambda_i (\sum_{j,k=1}^4 \alpha_{ij}\beta_{ik} e_jf_k))=\sum_{i=1..m, k,j=1..4} (\lambda_i \alpha_{ij}\beta_{ik} e_jf_k)$. Всего элементов $e_jf_k$ - 16, следовательно любой $x\inL$ представим в виде линейной комбинации 16 элементов, значит $dim(L)\leqslant 16$

[vpb]

Да, так правильно. Однако, то, что написано в первой фразе, правильно, но не обосновано. Обоснуйте.
Еще, я думаю, надо все же написать решение задачи 2 (хотя я сначала писал, что устная), на всякий случай (вдруг Вы там что-то не так понимаете... всякое может быть).

Кстати, я сделал ошибку в нумерации, получилось две задачи 2. Вторую исправил на 2а.

Дальше так. Отвлечемся пока от алгебры $M_2({\mathbb H})$.

Задача 4. Пусть $A$ и $B$ --- две произвольных алгебры над полем $F$, (ассоциативных, с единицей), размерностей $m$ и $n$ соответственно. Покажите, что существует, причем единственная с точностью до изоморфизма,
$F$-алгебра $C$ такая, что $C$ имеет две подалгебры $A_1$, $B_1$, удовлетворяющие условиям (а) $1_C\in A_1,\,B_1$, (б) $A_1\cong A$, $B_1\cong B$, (в) $A_1$ и $B_1$ поэлементно коммутируют, (г) $A_1$, $B_1$ порождают $C$,
(д) $\dim_F\, C=mn$.

[ikozyrev]

vpb в сообщении #1335590 писал(а):

Да, так правильно. Однако, то, что написано в первой фразе, правильно, но не обосновано. Обоснуйте.

Так как элементы из $A$ - это элементы одной подалгебры, то любое их произведение может быть предствалено одним элементом из $A$, тоже самое соображение действует и для $B$. И наконец, так как элементы $A$ и $B$ коммутируют, то любое их произведение может быть представлено в виде $a_ib_i$

[ikozyrev]

vpb в сообщении #1335590 писал(а):

Задача 4. Пусть $A$ и $B$ --- две произвольных алгебры над полем $F$, (ассоциативных, с единицей), размерностей $m$ и $n$ соответственно. Покажите, что существует, причем единственная с точностью до изоморфизма,
$F$-алгебра $C$ такая, что $C$ имеет две подалгебры $A_1$, $B_1$, удовлетворяющие условиям (а) $1_C\in A_1,\,B_1$, (б) $A_1\cong A$, $B_1\cong B$, (в) $A_1$ и $B_1$ поэлементно коммутируют, (г) $A_1$, $B_1$ порождают $C$,
(д) $\dim_F\, C=mn$.

Решение:

(Оффтоп)

Пусть базисом $A$ являются $e_1=1_A, e_2, ... ,e_m$, а базисом $B$ пусть будут $f_1=1_B, f_2, ... ,f_n$, тогда рассмотрим множество слов $\{(e_if_j)\}, i=1..m, j=1..n$, введем на этом множестве операции сложения и умножения на элемент поля $F$ как на пространстве мономов длины 2: $\lambda_1e_if_j+\lambda_2e_if_j=(\lambda_1+\lambda_2)e_if_j$, и операцию перемножения, которая при коммутировании $e_i$ и $f_j$ всегда дает опять моном длины 2: $\lambda_1e_if_j\lambda_2e_kf_l=\lambda_3e_pf_q$. Нетрудно видеть, что рассматриваемое множество с определенными так операциями образует ассоциативную алгебру. Она имеет две требуемые подалгебры $A_1$ и $B_1$, порожденные соответственно элементами вида $e_if_1$ и $f_je_1$ и следовательно изоморфные исходным $A$ и $B$, а сама алгебра $C$ порождена элементами этих подалгебр с единицей $1_C=e_1f_1$. Размерность ее равна количеству порождающих элемнтов, то есть $nm$. Осталось доказать единственность. Пусть у нас будет вторая алгебра $C'$ отвечающая требуемым условиям. Как векторное пространство, она изоморфна $C$ по размерности. Гомоморфизм колец организуем отправляя базисы $A$ и $B$ в базисы $A_1$ и $B_1$.

[ikozyrev]

vpb в сообщении #1335402 писал(а):

Задача 2 (устно) 1) Показать, что $A$ и $B$ --- подалгебры в $M_2({\mathbb H})$, содержащие единицу, и изоморфные $M_2({\mathbb R})$ и ${\mathbb H}$ соответственно.
2) $A$ и $B$ поэлементно коммутируют, т.е. $ab=ba$ $\forall a\in A,\, b\in B$.
3) Любой элемент из $M_2({\mathbb H})$ можно представить в виде $\sum_{i=1}^m a_ib_i$, где $a_i\in A$, $b_i\in B$.
4) (Более сложный вопрос, пока решать не обязательно.) Каково минимальное $m$ такое, что в таком виде можно представить любой элемент из $M_2({\mathbb H})$?

(Оффтоп)

Решение:
1) $A$ - это пространство всех квадратных матриц $2\times2$ c действительными коэффициентами, поэтому он не просто изморфно $M_2(\mathbb{R})$, но является им. Это алгебра над $\mathbb R$, так как являясь пространством, на нем определена операция умножения на число. $B$ - однозначно отображается в $\mathbb H$: $a\mapsto h, b\mapsto h, h\in \mathbb{H}.$
2)

$$ ab = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} h & 0 \\ 0 & h \end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} ah & bh \\ ch & dh \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} h & 0 \\ 0 & h \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =ba $$

3)

$$M_2({\mathbb H})\ni x = \begin{pmatrix} a_1+b_1i+ c_1j+d_1k & a_2+b_2i+ c_2j+d_2k \\ a_3+b_3i+ c_3j+d_3k & a_4+b_4i+ c_4j+d_4k \end{pmatrix} =$$

$$ \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}+i\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}+j\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ c_3 & c_4 \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} d_1 & d_2 \\ d_3 & d_4 \end{pmatrix}=ah_1+bh_2+ch_3+dh_4, a,b,c,d\in A, h_1, h_2, h_3, h_4 \in B$$

[mahalex]

ikozyrev в сообщении #1335247 писал(а):

А какие есть хорошие интутивные техники для "укладывания в мозг" тензорного произведения?

Я бы предложил геометрическую интерпретацию: если есть функции на $X$ и функции на $Y$, то тензорное произведение — это функции на декартовом произведении $X\times Y$. Для этого не нужно знать слов «универсальное свойство», «алгебра», и т. д.

[alcoholist]

mahalex
тогда как объяснить тот факт, что $\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{R}\simeq \mathbb{R}$?

[Xaositect]

alcoholist в сообщении #1337575 писал(а):

mahalex
тогда как объяснить тот факт, что $\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{R}\simeq \mathbb{R}$?

Декартово произведение точек - точка.