Интуитивное понимание тензорного произведения

[ikozyrev]

Прошу помощи в понимании тензорного произведения векторных пространств на интуитивном уровне.
Определение с помощью универсального свойства я знаю, но оно сухое и контринтуитивное, а хотелось бы "пощупать" этот объект умом и уложить его в привычную математическую интуицию.
Например декартово произведение векторных пространств понятно - это просто набор из векторов по одному из каждого.
Сумма (как обычная так и прямая) тоже вполне хорошо поддается (геометрической) интуиции.
А какие есть хорошие интутивные техники для "укладывания в мозг" тензорного произведения?

[Munin]

А вы с тензорами знакомились в курсе линейной алгебры, или сразу только в виде универсального свойства?

[ikozyrev]

Munin в сообщении #1335254 писал(а):

А вы с тензорами знакомились в курсе линейной алгебры, или сразу только в виде универсального свойства?

И так и так. Например у Кострикина тензор определяется как полилинейное отображение из декартового произведения $p$ экземпляров векторного пространства и $q$ экземпляров двойственного к нему. Это определение мне кажется еще более контиринтуитивным чем через универсальное свойство.

[Munin]

Это, конечно, круто. А примеры вы рассматривали? Например, для случая $(p,q)=(2,0),$ $(p,q)=(3,0),$ $(p,q)=(4,0)$?..

[ikozyrev]

Munin в сообщении #1335271 писал(а):

Это, конечно, круто. А примеры вы рассматривали? Например, для случая $(p,q)=(2,0),$ $(p,q)=(3,0),$ $(p,q)=(4,0)$?..

Ну эти случаи просты - понятно что это билиниейная, трилинейная, ... полилинейная форма.

А вот что такое на интуитивном уровне тензорное произведение векторных пространств?

[Munin]

Представьте себе пространство билинейных форм. Это и будет тензорное произведение двух копий исходного векторного пространства $V,$ то есть $V\!\otimes V=V^{\otimes 2}.$

-- 29.08.2018 16:05:44 --

А тензоры ранга $(p,q)$ принадлежат пространству $V\!\otimes\ldots_{(p)}\otimes V\otimes\,V^\star\!\otimes\ldots_{(q)}\otimes V^\star.$

[arseniiv]

ikozyrev в сообщении #1335247 писал(а):

Определение с помощью универсального свойства я знаю, но оно сухое и контринтуитивное

Вообще оно по идее должно быть венцом творения, так что наверно вы пропустили промежуточные шаги.

ikozyrev в сообщении #1335273 писал(а):

А вот что такое на интуитивном уровне тензорное произведение векторных пространств?

Пространство, содержащее «невычисленные произведения» векторов этих пространств, и всё остальное, что требуется, чтобы оно было линейным пространством. «Невычисленные произведения» в том смысле, что какое бы мы билинейное отображение $f\colon V\times V'\to W$ ни взяли, его можно представить некоторым линейным отображением $g\colon V\otimes V'\to W$ из тензорного произведения так, что $f(v,v') = g(v\otimes v')$. Это ровно переформулированное универсальное свойство.

-- Ср авг 29, 2018 18:25:17 --

arseniiv в сообщении #1335283 писал(а):

так что наверно вы пропустили промежуточные шаги

И тут остаётся только согласиться, что нужно рассмотреть больше примеров.

[pogulyat_vyshel]

ikozyrev в сообщении #1335247 писал(а):

Прошу помощи в понимании тензорного произведения векторных пространств на интуитивном уровне.

Я вам могу рассказать про генезис этого понятия, может станет легче.
Вот пусть у нас имеются векторные пространства $X,Y$ ( для определенности над $\mathbb{R}$; и необязательно конечномерные) и билинейная форма $f:X\times Y\to\mathbb{R}$. $Z=X\times Y$ -- это линейное пространство, а вот $f$, очевидно, на $Z$ линейной формой не является. Печалька. Через $B$ обозначим пространство билинейных форм. Отметим, что для каждой пары $(x,y)\in Z$ отображение $f\mapsto f(x,y)$ является линейной функцией на пространстве билинейных форм $B$. Таким образом мы получили отображение $\chi:(x,y)\mapsto B^*$. Будем обозначать $x\otimes y=\chi(x,y)$.
При этом естественно считать $(\lambda_1 x_1\otimes y_1+\lambda_2 x_2\otimes y_2)f=\lambda_1f( x_1,y_1)+\lambda_2f( x_2,y_2)$. Определим пространство $X\otimes Y$ как пространство конечных линейных комбинаций элементов из $\chi(X\times Y)$.

Но теперь у нас появилось линейное отображение $\tilde f:X\otimes Y\to \mathbb{R}$, которое отвечает отображению $f$, а именно $\tilde f(x\otimes y)=f(x,y)$,
$\tilde f(\lambda_1 x_1\otimes y_1+\lambda_2 x_2\otimes y_2)=\lambda_1\tilde f( x_1\otimes y_1)+\lambda_2\tilde f( x_2\otimes y_2)$
В каом-то смысле мы сделали из билинейного отображения линейное.

[ikozyrev]

pogulyat_vyshel в сообщении #1335304 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1335247 писал(а):

Прошу помощи в понимании тензорного произведения векторных пространств на интуитивном уровне.

Я вам могу рассказать про генезис этого понятия, может станет легче.
Вот пусть у нас имеются векторные пространства $X,Y$ ( для определенности над $\mathbb{R}$; и необязательно конечномерные) и билинейная форма $f:X\times Y\to\mathbb{R}$. $Z=X\times Y$ -- это линейное пространство, а вот $f$, очевидно, на $Z$ линейной формой не является. Печалька. Через $B$ обозначим пространство билинейных форм. Отметим, что для каждой пары $(x,y)\in Z$ отображение $f\mapsto f(x,y)$ является линейной функцией на пространстве билинейных форм $B$. Таким образом мы получили отображение $\chi:(x,y)\mapsto B^*$. Будем обозначать $x\otimes y=\chi(x,y)$.
При этом естественно считать $(\lambda_1 x_1\otimes y_1+\lambda_2 x_2\otimes y_2)f=\lambda_1f( x_1,y_1)+\lambda_2f( x_2,y_2)$. Определим пространство $X\otimes Y$ как пространство конечных линейных комбинаций элементов из $\chi(X\times Y)$.

Но теперь у нас появилось линейное отображение $\tilde f:X\otimes Y\to \mathbb{R}$, которое отвечает отображению $f$, а именно $\tilde f(x\otimes y)=f(x,y)$,
$\tilde f(\lambda_1 x_1\otimes y_1+\lambda_2 x_2\otimes y_2)=\lambda_1\tilde f( x_1\otimes y_1)+\lambda_2\tilde f( x_2\otimes y_2)$
В каом-то смысле мы сделали из билинейного отображения линейное.

Спасибо большое!!!
Вот чего-то такого мне и не хватало.

[vpb]

ikozyrev
Скажите, а вы уже проходили понятие алгебры над полем ? Если да, то можете привести какие-нибудь примеры ?

[ikozyrev]

vpb в сообщении #1335311 писал(а):

ikozyrev
Скажите, а вы уже проходили понятие алгебры над полем ? Если да, то можете привести какие-нибудь примеры ?

Да. Самый простой и наглядный - алгебра многочленов $k[x]$. Это и векторное пространство и кольцо одновременно.

[vpb]

По всей вероятности, что такое алгебра матриц $M_2({\mathbb R})$ и алгебра вещественных кватернионов ${\mathbb H}$, Вы тоже знаете. (Если нет, см. Винберг, гл.1, или Кострикин, т.3, гл.1.).

Можно рассмотреть их "гибрид". Пусть $M_2({\mathbb H})$ --- множество всех $2\times 2$ матриц с элементами из ${\mathbb H}$. Сложение и умножение на элементы из ${\mathbb R}$ в $M_2({\mathbb H})$ определим покомпонентно, а умножение элементов между собой --- тоже обычной формулой, т.е.

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} aa_1+bc_1 & ab_1+bd_1 \\ ca_1+dc_1 & cb_1+dd_1 \end{pmatrix} $$

(памятуя при этом, что умножение в ${\mathbb H}$ некоммутативно!).

Задача 1. Проверить, что $M_2({\mathbb H})$ --- ассоциативная алгебра с единицей над ${\mathbb R}$, размерности 16.
(устно, т.е. решение сюда писать не обязательно).

Пусть $A\subseteq M_2({\mathbb H})$ --- подпространство всех матриц, у которых все элементы $a,b,c,d \in{\mathbb R}$; $B$ --- подпространство матриц, у которых $a=d$ и $b=c=0$.

Задача 2 (устно) 1) Показать, что $A$ и $B$ --- подалгебры в $M_2({\mathbb H})$, содержащие единицу, и изоморфные $M_2({\mathbb R})$ и ${\mathbb H}$ соответственно.
2) $A$ и $B$ поэлементно коммутируют, т.е. $ab=ba$ $\forall a\in A,\, b\in B$.
3) Любой элемент из $M_2({\mathbb H})$ можно представить в виде $\sum_{i=1}^m a_ib_i$, где $a_i\in A$, $b_i\in B$.
4) (Более сложный вопрос, пока решать не обязательно.) Каково минимальное $m$ такое, что в таком виде можно представить любой элемент из $M_2({\mathbb H})$?

Теперь предположим, наоборот, следующее: $L$ --- некоторая (ассоциативная) ${\mathbb R}$-алгебра с 1, содержащая две подалгебры $A$ и $B$ такие, что 1) $A\cong M_2({\mathbb R})$, $B\cong{\mathbb H}$, и единицы в $A$ и $B$ совпадают с единицей в ${\mathbb H}$,
2) $A$ и $B$ поэлементно коммутируют,
3) $L$ порождена подалгебрами $A$ и $B$, т.е. любой элемент из $L$ можно записать через элементы из $A$ и $B$, используя произведения и линейные комбинации.

Задача 2а (письменно) Показать, что при этих условиях размерность алгебры $L$ не превосходит 16.

Задача 3 (сложная, не обязательная). Доказать, что алгебра $M_2({\mathbb H})$ проста, т.е. не имеет собственных двусторонних идеалов.

Пока достаточно. А про тензорные произведения пока вообще вспоминать не надо.

(Только решения спрячьте под спойлер, чтобы в будущем еще кто-то мог воспользоваться. Ибо проблема с пониманием того, что такое тензорное произведение, весьма типична. Впрочем, то, что я пишу, рассчитано только на достаточно сильного студента, и для более слабых нужно будет, наверное, другое объяснение.)

-- 29.08.2018, 22:02 --

А еще вот что. Есть такая хорошая, годная книжка --- T.Yokonuma, Tensor spaces and exterior algebra. Хотя тензорное произведение много где объясняется, эта книга уникальна. Поскольку она была по английски написана самим автором, язык там весьма простой. Можете попытаться почитать, в общем.

[ikozyrev]

vpb в сообщении #1335402 писал(а):

(Только решения спрячьте под спойлер, чтобы в будущем еще кто-то мог воспользоваться. Ибо проблема с пониманием того, что такое тензорное произведение, весьма типична. Впрочем, то, что я пишу, рассчитано только на достаточно сильного студента, и для более слабых нужно будет, наверное, другое объяснение.)

Решения:

(Оффтоп)

2.4) Ответ - 4. Достаточно рассмотреть случай когда элементами матрицы являются 4 линейно-независимых кватернионов и показать что 3 произведений для представления такой матрицы недостаточно.

2) Из соображения размерности: раз любой элемент из $L$ можно записать через элементы из $A$ и $B$, используя произведения и линейные комбинации, а любое произведение элементов из $A$ и $B$ является элементом $M_2({\mathbb H})$ (для этого и нужны условия ассоциативности и коммутирования элементов подалгебр), то значит что любой элемент $L$ вляется элементом $M_2({\mathbb H})$, то есть $L$ - собственная или несобственная подалгебра $M_2({\mathbb H})$, а значит ее размерность не превосходит 16.

[vpb]

ikozyrev
Вы неправильно поняли. $A$ и $B$ во второй задаче не имеют отношения к первой, это просто какие-то подалгебры в $L$, с указанными свойствами. Считайте, что вместо $A$ и $B$ написаны $A_1$ и $B_1$.

(Почему на самом деле можно писать так, как я написал, а пририсовывать единички не обязательно --- это отдельная песня ("на переменную навешан квантор", на языке матлогики). )

[ikozyrev]

vpb в сообщении #1335510 писал(а):

ikozyrev
Вы неправильно поняли. $A$ и $B$ во второй задаче не имеют отношения к первой, это просто какие-то подалгебры в $L$, с указанными свойствами. Считайте, что вместо $A$ и $B$ написаны $A_1$ и $B_1$.

Ок, тогда так:

(Оффтоп)

$A$ имеет размерность 4 и $B$ - тоже. Значит любое произведение их элементов можно представить в виде произведения линейной комбинации 4 базисных векторов из $A$ и линейной комбинации 4 базисных векторов из $B$. Перемножая эти линейные комбинации и раскрывая скобки (тут и пригодится коммутирование и ассоциативность), получаем линейную комбинацию 16 элементов, каждый их которых равен произведению какого -то базисного вектора из $A$ и какого-то базисного вектора из $B$. Следовательно, вся алгебра $L$ попрождена этими 16 элементами. Значит, ее размерность не выше 16.