Могут ли различные топологии иметь одну и ту же базу?

[SNet]

База топологии определяется следующим образом:

Это семейство открытых подмножеств топологического пространства, такое, что любое открытое множество этого пространства (кроме пустого) представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Рассмотрим семейство, состоящее из открытых интервалов вещественной прямой, $\mathbb{R}$ и $\varnothing$.
Это семейство на $\mathbb{R}$ порождает антидискретную и каноническую топологии. Значит, да.
Но другие люди говорят, что база однозначно определяет топологию, а потому нет. В чём беда?

[Mikhail_K]

SNet в сообщении #1335620 писал(а):

Это семейство на $\mathbb{R}$ порождает антидискретную

Нет. В антидискретной топологии интервалы не являются открытыми множествами. Поэтому семейство, состоящее из открытых интервалов, не является "семейством открытых подмножеств топологического пространства (с антидискретной топологией), таким, что..." - т.е. не является базой.

-- 30.08.2018, 20:08 --

SNet в сообщении #1335620 писал(а):

База топологии определяется следующим образом:

Это семейство открытых подмножеств топологического пространства, такое, что любое открытое множество этого пространства (кроме пустого) представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Возможно, яснее это определение написать так:

База топологии - это подсистема топологии, такая что любое множество, принадлежащее топологии, кроме пустого, представимо в виде объединения элементов этого семейства.

[SNet]

Mikhail_K в сообщении #1335627 писал(а):

Возможно, яснее это определение написать так

А, тогда действительно всё ясно. Тут скорее были лингвистические трудности. Спасибо!

[Mikhail_K]

SNet в сообщении #1335620 писал(а):

Но другие люди говорят, что база однозначно определяет топологию

И не просто говорят, а это доказывается в две строки.
Пусть $B$ - база топологии $\tau$.
Тогда любое множество из $\tau$ представимо в виде объединения элементов $B$.
Покажите, что и наоборот, любое множество, представимое в виде объединения элементов $B$, лежит в $\tau$. (Используйте, что $B$ есть подсистема $\tau$.)
Вот отсюда однозначность и вытекает.

[SNet]

Mikhail_K в сообщении #1335629 писал(а):

Покажите, что и наоборот, любое множество, представимое в виде объединения элементов $B$, лежит в $\tau$.

Пусть $A = \bigcup B_\alpha$ ($B_\alpha\in B$). Тогда, во-первых, поскольку $B\subset\tau$ (этого условия не хватало в определении из учебника, ибо иначе возникает произвол), то $B_\alpha\in\tau$, во-вторых, поскольку объединение открытых множеств открыто, $A\in\tau$

[Someone]

SNet в сообщении #1335630 писал(а):

поскольку $B\subset\tau$ (этого условия не хватало в определении из учебника

Тем не менее, оно там есть и в вашей цитате указано:

SNet в сообщении #1335620 писал(а):

семейство открытых подмножеств

[Mikhail_K]

Ведь "открытых" - это и значит "принадлежащих топологии".

-- 30.08.2018, 20:34 --

SNet в сообщении #1335630 писал(а):

Пусть $A = \bigcup B_\alpha$ ($B_\alpha\in B$). Тогда, во-первых, поскольку $B\subset\tau$ (этого условия не хватало в определении из учебника, ибо иначе возникает произвол), то $B_\alpha\in\tau$, во-вторых, поскольку объединение открытых множеств открыто, $A\in\tau$

Всё так. Таким образом, $\tau$ обязательно совпадает с системой всевозможных объединений элементов $B$, и поэтому определяется этой самой $B$ однозначно.

[SNet]

Someone в сообщении #1335632 писал(а):

Тем не менее, оно там есть и в вашей цитате указано

Mikhail_K в сообщении #1335633 писал(а):

Ведь "открытых" - это и значит "принадлежащих топологии"

Ведь одно и то же множество может быть открытым в одном пространстве и неоткрытым в другом. Тут, наверное, стоило добавить нечто вроде "Семейство открытых в одном и том же пространстве множеств".

[Mikhail_K]

SNet в сообщении #1335635 писал(а):

Ведь одно и то же множество может быть открытым в одном пространстве и неоткрытым в другом. Тут, наверное, стоило добавить нечто вроде "Семейство открытых в одном и том же пространстве множеств".

Не нужно ничего добавлять. А как Вы могли бы по-другому понять это определение? Ведь в нём сказано "открытых подмножеств". В какой топологии открытых? Очевидно, в той, базу которой мы и определяем - ведь другие топологии в определении просто не фигурируют.

[Someone]

SNet в сообщении #1335635 писал(а):

множество может быть открытым в одном пространстве и неоткрытым в другом

А откуда тут взялось "другое пространство"?