Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)

[g______d]

По-видимому, более-менее как заметил grizzly, утверждение состоит в следующем. Пусть $f\colon \mathbb N\to \mathbb R$ -- ограниченная функция,

$$ S[f,n]=f(1)+\ldots+f(n). $$

Тогда

$$ (1)-(2)=\frac{1}{n^3}O(S[f,n]^2)+O(1/n^2), $$

и доказательство занимает одну строчку. Очевидное следствие -- если $S[f,n]=o(n)$, то $(1)-(2)=o(1/n)$, и то же самое с $O$-большими.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1335268 писал(а):

Вы наверно знаете, что для независимых случайных величин справедливо утверждение: среднее от произведения независимых случайных величин равно произведению средних.

Во-первых, случайных.
Во-вторых, матожидание считается для произведения разных случайных функций, а не попарных произведений значений одной.
В-третьих, матожидание определяется, когда задано распределение, и как было замечено, совместное распределение тоже должно быть определено.
В-четвертых, то же касается и моментов более высокого порядка, в т.ч. стандартного отклонения.
В-пятых, из мультипликативности матожидания не следует (никакая) независимость.
В-шестых, сколько не говори "халва", сладким оно не станет: оттого что Вы назовете что-то независимым (от чего? независимость подразумевает хотя бы пару объектов), свойства, характерные для независимых объектов не появятся.
В-седьмых, в принципе смысл происходящего не виден. Какую цель Вы хотите достичь. Во всех изложенных выше попытках доказательства никакого вероятностного содержания не было, равно как и необходимости использовать термины, похожие на вероятностные.
И наконец, формальное определение отсутствует. Как и его обоснованность (зачем оно). Если оно изолировано от всего остального изложения, то смысл введения новых слов, которые слишком напоминают общеупотребительные, с одной стороны, неясен, лучше уж не вводить, а с другой стороны, возникает большой риск ссылки на свойства именно общеупотребительного термина, которые для нового понятия никак не обоснованы.

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1335256 писал(а):

Упражнение. Доказать, что любая ограниченная функция будет удовлетворять условию, которое Вы называете "асимптотическая независимость".
Я не думаю, что целесообразно обзывать это упражнение громким словом Теорема. Такого типа упражнения есть в любом задачнике (например, в Демидовиче). Обычно, правда, задачи там намного сложнее, но и такие простые тоже бывают, для того, чтобы студенты, начинающие знакомиться с понятиями О-большое и о-малое, набили руку.
Вы сможете доказать это Упражнение?

grizzly в сообщении #1335323 писал(а):

vicvolf
Ответьте, пожалуйста, на вопрос, который я задавал:

grizzly в сообщении #1335256 писал(а):

Упражнение. Доказать, что любая ограниченная функция будет удовлетворять условию, которое Вы называете "асимптотическая независимость".

Извините, не хотел писать о Ваших домашних заданиях по Демидовичу, но Вы настаиваете! Да. я знаю, что для ограниченных арифметических функций $f(k)$, слагаемых сумматорной арифметической функции $S(n)=\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}$ выполняется оценка сверху $(1)-(2)=O(1/n)$, поэтому для них выполняется введенное условие асимптотической независимости. Но я знаю также, что для некоторых неограниченных функций $f(n)$ выполняется тоже условие. Например, для функция Мангольдта, которая является слагаемым сумматорной арифметической функции Чебышева $\psi(n)=\sum\limits_{p^m \leq n} {\log(p)}$ или неограниченных слагаемых другой функции Чебышева $\sum\limits_{p \leq n} {\log(p)}$. Вам, как большому любителю домашних заданий и Демидовича предлагаю доказать это соотношение с использованием Демидовича.

-- 30.08.2018, 12:13 --

g______d в сообщении #1335357 писал(а):

По-видимому, более-менее как заметил grizzly, утверждение состоит в следующем. Пусть $f\colon \mathbb N\to \mathbb R$ -- ограниченная функция,

$$ S[f,n]=f(1)+\ldots+f(n). $$

Тогда

$$ (1)-(2)=\frac{1}{n^3}O(S[f,n]^2)+O(1/n^2), $$

и доказательство занимает одну строчку. Очевидное следствие -- если $S[f,n]=o(n)$, то $(1)-(2)=o(1/n)$, и то же самое с $O$-большими.

Да, согласен с Вами. Лучше накладывать условие на сумматорную арифметическую функцию.

Я доказал похожее утверждение, что если сумматорная функция удовлетворяет условию - $S(n)=mn+o(n)$, то она является асимптотически независимой, в указанном мною смысле, при этом $m \geq 0$.

Кстати этому условию удовлетворяют обе функции Чебышева, количество чисел свободных от квадратов, функции Мертенса, Лиувилля и многие другие.

[Lia]

vicvolf

vicvolf в сообщении #1335517 писал(а):

Извините, не хотел писать о Ваших домашних заданиях по Демидовичу, но Вы настаиваете! Да. я знаю, что для ограниченных арифметических функций $f(k)$, слагаемых сумматорной арифметической функции $S(n)=\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}$ выполняется оценка сверху $(1)-(2)=O(1/n)$,

А никто не говорил, что для неограниченных это свойство не выполняется. Речь шла о том, что ограниченности достаточно (но необходимой она не является). А значит, специфика именно функции Мертнеса и т.п не используется. И каких-то свойств, характерных именно для этой функции, это утверждение не дает.

[vicvolf]

ex-math в сообщении #1335328 писал(а):

Меня смущает то, что в (1) и (2) в числителе стоит одно и то же. Для независимости нужно наверное вычитать разные выражения, и доказывать что разность мала. А если вычитать одинаковые, то и так ясно что получится. Изначально ведь Вы обещали брать среднее от "сдвинутой" функции, а тут этого нет.

Последний вариант определения асимптотической независимости арифметических функций в обоих выражениях (1) и (2) рассматривается одинаковый случай $i \not=j $. Это более правильно, так как на оба выражения должны накладываться одинаковые условия на переменные. Кстати я посылал Вам сообщение с доказательством, что асимптотической независимостью, в данном смысле, обладают только сумматорные функции, удовлетворяющие условию $S(n)=mn+o(n)$, но, к сожалению, не получил ответа.

-- 30.08.2018, 12:47 --

Lia в сообщении #1335521 писал(а):

А никто не говорил, что для неограниченных это свойство не выполняется. Речь шла о том, что ограниченности достаточно (но необходимой она не является). А значит, специфика именно функции Мертнеса и т.п не используется. И каких-то свойств, характерных именно для этой функции, это утверждение не дает.

Предлагалось доказать это утверждение для ограниченных арифметических функций. А зачем? Когда есть более общий случай, который уже доказан.

В утверждении относительно функций Мертенса и Лиувилля есть специфика - оно другое: $(1)-(2)=o(1/n)$, а не $O(1/n)$.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1335525 писал(а):

В утверждении относительно функций Мертенса и Лиувилля есть специфика - оно другое: $(1)-(2)=o(1/n)$, а не $O(1/n)$.

Вы ее нигде не используете. Согласно Вашему тексту, Вам важно только чтобы предел был нулевым.

vicvolf в сообщении #1335525 писал(а):

Предлагалось доказать это утверждение для ограниченных арифметических функций. А зачем? Когда есть более общий случай, который уже доказан.

Вы имеете в виду то, что Вы доказали для $S(n)=mn+o(n)$. Так Вы ведь нигде об этом не написали - во-первых, а во-вторых - это утверждение тоже не использует специфику именно ваших функций, оперируя довольно широким классом функций.

[grizzly]

vicvolf
Я понимаю Вашу защитную реакцию, поэтому не стану усугублять.

Я рад, что стало всё понятно. Если бы не этот крайне неудачный и противоестественный термин "асимптотическая независимость" к данному утверждению (записанному в формулировке g______d) не осталось бы никаких замечаний (кроме тривиальности, конечно).

Для того, чтобы улучшить взаимопонимание с участниками форума, я предлагаю Вам не настаивать на данном этапе на термине "асимптотическая независимость", а назвать его, скажем, Условие АН. Это никак не повлияет на дальнейшее изложение -- как Вы уже наверняка поняли, каждая строчка Ваших последующих доказательств потребует от Вас такой же степени аккуратности понимания и изложения. Это не должно вызывать у Вас никаких негативных эмоций -- Вы же сами видели, насколько упростились и сократились в итоге формулировки и доказательства первых утверждений.

[vicvolf]

g______d в сообщении #1335357 писал(а):

По-видимому, более-менее как заметил grizzly, утверждение состоит в следующем. Пусть $f\colon \mathbb N\to \mathbb R$ -- ограниченная функция,

$$ S[f,n]=f(1)+\ldots+f(n). $$

Тогда

$$ (1)-(2)=\frac{1}{n^3}O(S[f,n]^2)+O(1/n^2), $$

и доказательство занимает одну строчку. Очевидное следствие -- если $S[f,n]=o(n)$, то $(1)-(2)=o(1/n)$, и то же самое с $O$-большими.

Здесь $f$ - ограниченная функция. У меня есть доказательство без этого ограничения. Я доказал утверждение, что если сумматорная функция удовлетворяет условию - $S(n)=mn+o(n)$, то она является асимптотически независимой, в указанном мною смысле. Кстати этому условию удовлетворяют обе функции Чебышева, количество чисел свободных от квадратов, функции Мертенса, Лиувилля и многие другие.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1335568 писал(а):

У меня есть доказательство без этого ограничения.

Вы хотели сказать: "у меня есть доказательство с более слабым ограничением". Ок, никто не спорит. Вам только говорят, что от такого общего утверждения, никак не учитывающего специфики функций Мёбиуса или Лиувилля, нельзя получить какой-то содержательный результат в интересующем Вас направлении. В том смысле, что какие-то результаты можно получить, но их содержательность будет не выше, чем содержательность этого утверждения.

-- 30.08.2018, 15:59 --

Да, вижу, что Вы добавили это ограничение. Что в нём означает $m$?

-- 30.08.2018, 16:03 --

Если $m$ просто некоторая константа, тогда Вы немного слукавили, сказав, что Вам понятно утверждение, которое сформулировал g______d. У него записано более общее утверждение (в последней строчке его первого сообщения на этой странице в качестве "очевидного следствия").

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1335570 писал(а):

Да, вижу, что Вы добавили это ограничение. Что в нём означает $m$?

$m$ - любое действительное число, в том числе $0$.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1335572 писал(а):

$m$ - любое действительное число

grizzly в сообщении #1335570 писал(а):

тогда Вы немного слукавили, сказав, что Вам понятно утверждение, которое сформулировал g______d. У него записано более общее утверждение (в последней строчке его первого сообщения на этой странице в качестве "очевидного следствия").

Вот почему я просил Вас привести доказательство того Упражнения. Иначе никак нельзя убедить Вас и аудиторию, что Вы так и не поняли.

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1335570 писал(а):

тогда Вы немного слукавили, сказав, что Вам понятно утверждение, которое сформулировал g______d. У него записано более общее утверждение (в последней строчке его первого сообщения на этой странице в качестве "очевидного следствия").

Нет, его утверждение справедливо только для ограниченных $f$ (он так и пишет). Остаточный член $O(1/n^2)$ получается при предположении ограниченности $f$.

[grizzly]

vicvolf
Ну пусть, доказали Вы своё Упражнение (я уверен, что он не станет спорить с Вами насчёт приоритета :)

Вот Вам обобщение: Упражнение верно для функций, у которых $S[f,n]=O(n)$. Убедитесь, что оно более общее, чем Ваше. Не знаю, как Вы доказываете Ваше Упражнение, но это по-прежнему доказывается в одну строчку.

-- 30.08.2018, 16:27 --

И раз мы всё ещё продолжаем обсуждать это Упражнение, подумайте о том, как обобщить и доказать его для некоторого класса функций, у которых $S[f,n]$ растёт быстрее, чем $O(n)$.

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1335577 писал(а):

vicvolf
Вот Вам обобщение: Упражнение верно для функций, у которых $S[f,n]=O(n)$. ]

Докажите

Цитата:

подумайте о том, как обобщить и доказать его для некоторого класса функций, у которых $S[f,n]$ растёт быстрее, чем $O(n)$.

Это не выполняется. Впрочем докажите?

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1335581 писал(а):

Это не выполняется. Впрочем докажите?

Давайте сделаем так. Вы ещё немного сегодня подумаете, а я завтра напишу доказательство (если Вы не сделаете этого раньше).