Последний из факториалов

[Ktina]

Если написать вперемежку факториалы и квадраты, а затем вычислить последовательность частичных сумм того, что вышло, получится 1 1 2 3 5 9 15 24 ...

Докажите, что 24 является последним факториалом в этой последовательности.

[mihaild]

$2n$ или $2n+1$-й явно больше чем $n!$ и меньше чем $(n+1)!$ - там $2n$ слагаемых, но они группируются на $n$ пар, каждая из которых, кроме последней, меньше $n!$, а последняя меньше $2 n!$ - так что сумма этих $n$ пар меньше чем $(n + 1) \cdot n! = (n+1)!$.

[Ktina]

mihaild
Большое спасибо!

[wrest]

Ktina в сообщении #1334552 писал(а):

Если написать вперемежку факториалы и квадраты, а затем вычислить последовательность частичных сумм того, что вышло, получится 1 1 2 3 5 9 15 24

У меня так не получается чего-то. Получается так:
Перемежка: 1, 1, 2, 4, 6, 9, 16, 24, 25, 36,
Частичные суммы: 1, 2, 4, 8, 14, 23, 39, 63

[arseniiv]

Исходная перемежка, видимо, предполагается вида

1, 0, 1, 1, 2, 4, 6, 9, 16, 24, 25, 36, …

т. е. начинающаяся с $0!, 0^2$.

[Ktina]

wrest, arseniiv прав.