Угловая скорость в механике

[Eule_A]

pogulyat_vyshel в сообщении #1334513 писал(а):

Угловая скорость бывает только у твердого тела.

Сивухин в первом томе своего курса писал(а):

По аналогии с линейной скоростью и ускорением вводятся угловая скорость и угловое ускорение. Эти понятия относятся к случаю движения материальной точки по окружности. Положение точки $M$ на окружности можно задать углом $\alpha$, который образует радиус-вектор $OM$ с каким-либо неизменным направлением $OX$ (рис. 6). Производная этого угла по времени $\omega=\frac{d\alpha}{dt}$ называется угловой скоростью.

Лойцянский в Механике жидкости и газа писал(а):

В общем случае каждой точке $M$ поля скоростей движущейся среды сопоставляются два вектора: скорость $\vec{V}$ и угловая скорость $\vec{\omega}$.

Eule_A: Выделено из темы «Дурацкий вопрос о роторе».

[pogulyat_vyshel]

Eule_A в сообщении #1334524 писал(а):

По аналогии с линейной скоростью и ускорением вводятся угловая скорость и угловое ускорение. Эти понятия относятся к случаю движения материальной точки по окружности

именно, что по окружности

Eule_A в сообщении #1334524 писал(а):

В общем случае каждой точке $M$ поля скоростей движущейся среды сопоставляются два вектора: скорость $\vec{V}$ и угловая скорость $\vec{\omega}$.

которая в данном случае суть просто другое название ротора скорости с точностью до двойки и не больше т.е тавтология. В содержательной части опять осталось лишь твердое тело. Но попытка хорошая:)

[Munin]

Таким путём можно и твёрдому телу отказать в угловой скорости, заменив её на ротор поля скоростей его точек.

[pogulyat_vyshel]

Теорема 1. Для любого гладкого движения твердого тела существует и при том единственный (аксиальный) вектор $\boldsymbol \omega=\boldsymbol\omega(t)$ такой, что для любых двух точек $A,B$ твердого тела верна формула $\boldsymbol v_A=\boldsymbol v_B+[\boldsymbol\omega,\boldsymbol{BA}]$.

Определение 1. Вектор $\boldsymbol\omega$ называется угловой скоростью твердого тела.

Определение 2. Половина ротора поля скоростей точек твердого тела называется угловой скоростью твердого тела.

Теорема 2. Определения 1 и 2 эквивалентны.

Замечания. В духе определения 2 можно по инерции определить угловую скорость не только для твердого тела, но и для сплошной среды: $\boldsymbol\omega:=\mathrm{rot}\,\boldsymbol v/2$. Однако, в случае произвольной сплошной среды такая "угловая скорость" зависит, вообще говоря, от точки, в то время как в случае твердого тела это не так, да и теорема 1 для произвольного движения сплошной среды, очевидно, неверна. Поэтому для сплошной среды вектор $\omega$ ни какой специальной роли по сравнению с ротором поля скоростей не играет. Ну хочется вместо $\mathrm{rot}\,\boldsymbol v$ писать $2\boldsymbol\omega$ -- на здоровье. Содержательного в этом переобозначении ни чего нет.
В механике твердого тела определение 2 и теорема 2 не используются, а теорема 1 является ключевой.

Возвращаясь к стартовому посту, на вопрос

Alastoros в сообщении #1334510 писал(а):

Прочитал, что для поля скоростей частиц его ротор в каждой точке равен удвоенной угловой скорости частиц

можно ответить содержательно, как я это сделал выше, а можно так: "дык это ж просто такое специальное название для половины ротора. "

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1334544 писал(а):

В механике твердого тела определение 2 и теорема 2 не используются, а теорема 1 является ключевой.

Это замечательно.

Осталось заметить, что механика не исчерпывается такими разделами, как механика твёрдого тела и механика сплошной среды. Где-то там (особенно в учебном изложении) также есть механика точки и другие элементарные вещи.

[pogulyat_vyshel]

Продолжу свой спич про угловую скорость.
И так, почему не бывает угловой скорости точки? Ну, бывает, конечно. Вообще много всяких артефактов болтается по учебной литературе. Скользящие векторы еще бывают. Дело в том, что угловая скорость точки зависит от выбора начала координат (или полюса, как еще говорят), относительно которого она считается. Т. е. даже сама фраза "угловая скорость точки" некорректна, надо говорить "угловая скорость точки относительно выбранного начала $A$". А начало можно выбирать произвольно. По счастью и скользящие векторы, и угловая скорость точки (и еще много фигни фсякой) из современных учебников механики выпали, ну не нужны они, все уравнения и без них прекрасно пишутся. Хотя, если постараться, можно найти любителей этих артефактов среди авторов учебников. Особенно когда лектор не собирается тратить много времени на такой малосущественный по сравнению со скользящими векторами и кинематикой точки объект как уравнения Гамильтона. Но я всетаки говорю в основном о современных международных стандартах. А когда точка движется по окружности, то там обычно это называют угловой частотой, а не угловой скоростью.

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1334585 писал(а):

Т. е. даже сама фраза "угловая скорость точки" некорректна, надо говорить "угловая скорость точки относительно выбранного начала $A$".

Это разумно.

pogulyat_vyshel в сообщении #1334585 писал(а):

А начало можно выбирать произвольно.

А это нет. Бывает, например, задача движения в центральном поле. И всё, начало уже фиксировано. А задача двух тел сводится к этой.

pogulyat_vyshel в сообщении #1334585 писал(а):

ну не нужны они, все уравнения и без них прекрасно пишутся.

Я не очень уверен в оптимальности такого подхода с педагогической точки зрения. Мне кажется, знакомство с механикой движения по окружности стоит провести достаточно рано. Если отодвигать его до того момента, когда студент будет готов к механике твёрдого тела, то система понятий (момент силы, момент инерции, момент импульса и т. д.) будет ему совершенно незнакома, и освоить её будет трудно. Традиционное "постепенное погружение / приближение к полной версии теории" выглядит более щадящим.

pogulyat_vyshel в сообщении #1334585 писал(а):

А когда точка движется по окружности, то там обычно это называют угловой частотой, а не угловой скоростью.

Это вообще неестественно. "Угловую частоту" лучше оставить для других видов колебаний: пружинного маятника, электрических цепей, звуковых и электромагнитных волн, и так далее. (В частности, угловую скорость можно описывать вектором, а угловую частоту - всегда скаляром.)

[Pphantom]

Я бы еще заметил, что идеально правильная терминология и фактически сложившаяся терминология - это зачастую разные вещи. Соображения вроде вышеприведенных весьма хороши и правильны, но, например, в приложении к звездам, вращающимся вокруг центра Галактики, все равно всеми поголовно используется понятие угловой скорости (хотя ни твердого тела, ни даже сплошной среды в наличии не имеется).

pogulyat_vyshel в сообщении #1334585 писал(а):

Дело в том, что угловая скорость точки зависит от выбора начала координат (или полюса, как еще говорят), относительно которого она считается.

Естественно, но задач, в которых выбор полюса является естественным и очевидным, весьма много.

[Eule_A]

Высказавшиеся до меня частично воспроизвели мои соображения. Осталось только вот что.

pogulyat_vyshel в сообщении #1334585 писал(а):

Особенно когда лектор не собирается тратить много времени на такой малосущественный по сравнению со скользящими векторами и кинематикой точки объект как уравнения Гамильтона.

Можно в этом месте немного вдаться в детали? Где здесь мешает понятие угловой скорости применительно к материальной точке? Действительно, интересно.

[pogulyat_vyshel]

Это была ирония. Лекционное время не резиновое. Если я трачу время на введение всяких бесполезных понятий и экзерсисы с ними, то на принципиальные вещи, гамильтонову механику, например, у меня времени остается меньше.

[Eule_A]

Ирония - это хорошо. Ладно, с этим понял. Тогда вернёмся на момент к жидкости. Всё-таки ротор скорости - штука такая, более формальная, но не без связи с циркуляцией скорости. Тут вспоминается лагранжев подход к описанию движения сплошной среды, когда следят не за точкой пространства, а за физически малым объёмом среды (жидкости для определённости). Казалось бы, в таком подходе угловая скорость становится значительно менее формальной вещью, чем ротор линейной скорости, нет?

[pogulyat_vyshel]

Пусть $\boldsymbol v(t,\xi)$ -- скорость частицы сплошной среды с лагранжевой координатой $\xi=(\xi^i)$.
Можем написать разложение Тейлора

$$\boldsymbol v(t,\xi+h)=\boldsymbol v(t,\xi)+\frac{1}{2}\Big(\nabla_iv_k+\nabla_kv_i\Big)h^i\partial^k+\frac{1}{2}\Big(\nabla_iv_k-\nabla_kv_i\Big)h^i\partial^k+O(|h|^2),\quad |h|\to 0,\quad \partial^k=g^{ik}\partial_i$$

Можно поспекулировать теперь, что если бы среда не деформировалась в точке $\xi$ (второй член в правой части, это тензор скоростей деформаций) , и погрешности второго порядка не было, то это было бы такое "твердое тело" в данной точке $\xi$, поскольку третий член в правой части это как раз векторное произведение c "угловой скоростью", как в написанной выше формуле Эйлера. Поговорили, ни каких продолжений в виде каких-то содержательных утверждений этот разговор не имеет. То, что кинематика твердого тела есть частный случай кинематики сплошной среды это и без формул очевидно. Вот даже если мы с помощью этой формулы введем тензор скоростей деформаций $e_{ij}=\frac{1}{2}\Big(\nabla_iv_j+\nabla_jv_i\Big)$. то это не очень хорошая идея. Вот например, с помощью стандартного определения тензора скоростей деформаций легко доказать, что если $e_{ij}$ тождественно равно нулю во всех точках, то среда движется как твердое тело. А попробуйте это вывести из данной формулы -- повозиться придется.

-- 26.08.2018, 15:59 --

Есть еще методический нюанс. Студента, которому вбили в голову про угловую скорость точки, потом очень трудно обучить тому, что такое угловая скорость твердого тела.

[Eule_A]

pogulyat_vyshel в сообщении #1334635 писал(а):

Студента, которому вбили в голову про угловую скорость точки, потом очень трудно обучить тому, что такое угловая скорость твердого тела.

И в чём же заключается проблема? Точки тела при вращении вокруг неподвижной оси движутся по окружностям - а этот случай уже описан.

[Red_Herring]

Eule_A в сообщении #1334689 писал(а):

И в чём же заключается проблема? Точки тела при вращении вокруг неподвижной оси движутся по окружностям - а этот случай уже описан.

Проблема в том, что "угловая скорость точки твердого тела" зависит от положения наблюдателя и совпадает с "угловой скоростью твердого тела" лишь если наблюдатель находится на (моментальной) оси вращения т.т.

[Eule_A]

Ну, не знаю... Если мы говорим о механике теоретической, то вроде бы такой проблемы возникать уже не должно к этому моменту. Да раньше так ли это проблематично...