О единственности траектории светового луча при преломлении

[wrest]

misha.physics в сообщении #1334223 писал(а):

Просто для меня неочевидно, что нельзя найти какую-то другую траекторию для которой это время будет тоже минимальным среди других возможных.

Так в чем проблема? Допустим по вакууму скорость 8 км/ч а по стеклу 5 км/ч. Запишите уравнения да и убедитесь самолично... Для решения можно даже не знать что такое производная (но надо уметь решать квадратные уравнения): «Минимизация без использования производной»

[misha.physics]

realeugene,

realeugene в сообщении #1334393 писал(а):

Вы не знакомы даже с матаном?

С матаном знаком (ну где-то лучше, где-то хуже). Просто я писал про вариационную задачу. Её ведь часто даже выделяют под названием "Вариационное исчисление" или рассматрывают в курсе функционального анализа. В нас были только элементи вариационной задачи в курсе математической физики. Уравнение Эйлера-Лагранжа учили и т. д. Просто я имел ввиду, что мои знания в этой теме не позволяют мне понимать вариацию так интуитивно, как я понимаю производную. Варьировать приходилось только действие в физике, но делалось это механически, и понимания о том, что при этом происходит там "внутри" нет. То есть, как мы перебираем эти траектории и т. д.

realeugene в сообщении #1334393 писал(а):

Запишите функцию зависимости времени распространения луча из начальной точки в конечную $t(x)$ при условии, что путь луча состоит из двух отрезков, и найдите условие, при котором это время будет минимальным. Сможете?

Попробую, позже напишу результат.

wrest,

wrest в сообщении #1334394 писал(а):

Запишите уравнения да и убедитесь самолично...

Действительно, теперь это кажется очевидным, а мой начальный вопрос немного глупым Спасибо за ссылку. Позже сделаю расчёт.

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1334399 писал(а):

и понимания о том, что при этом происходит там "внутри" нет.

Внутри вариационного исчисления всё тривиально: при любом нужное число раз дифференцируемом небольшом изменении траектории целевая функция в первом приближении не должна изменяться, а во втором порядке малости по параметру - возрастать (для минимума). Всё то же самое, что и с нахождением минимума функции через производную в матане.

[misha.physics]

realeugene,
получилось

$$A=(x_A, y_A), B=(x, 0), C=(x_C, y_C)$$

$$n_1=\frac{c}{v_1}, n_2=\frac{c}{v_2}$$

$$t_{AC}(x)=t_{AB}(x)+t_{BC}(x)=\frac{n_1}{c}l_{AB}+\frac{n_2}{c}l_{BC}$$

$$\frac{dt_{AC}(x)}{dx}=0$$

Если теперь принять, что:

$$\sin{\alpha}=\frac{x-x_A}{l_{AB}}, \sin{\beta}=\frac{x_C-x}{l_{BC}}$$

то получим закон преломления:

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=\frac{n_2}{n_1}$$

Значит, если мы зафиксировали $\alpha, n_1$ и $n_2$, то существует только одно значение $\beta$. Это и доказывает единственность траектории. Это можно и для нижней границы пластинки использовать и получить то, что я спрашивал. О, там даже можно будет получить, что входной и выходной лучи будут параллельны.

-- 24 авг 2018, 22:33 --

realeugene в сообщении #1334404 писал(а):

при любом нужное число раз дифференцируемом небольшом изменении траектории

Вот как раз таки мне сложно понять, как изменение траектории может быть дифференцируемым. Но я займусь ещё изучением этой темы.

-- 24 авг 2018, 22:39 --

Возможно, имелось ввиду, что изменение траектории должно быть дифференцируемой функцией какого-то аргумента (параметра)...

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1334408 писал(а):

Возможно, имелось ввиду, что изменение траектории должно быть дифференцируемой функцией какого-то аргумента (параметра)...

Да, именно так, от параметра на траектории. Идём вдоль траектории, и "прибавка" к траектории плавно меняется, не менее плавно, чем сама искомая траектория. Впрочем, в каком классе гладкости функций рассматриваются прибавки (и сами траектории) зависит от задачи. В конце концов, от попыток рассмотрения траекторий с неопределённой длиной (неинтегрируемых) нас никто не спасёт, кроме нас самих.

Только не путайте параметр вдоль траектории с параметром малости. Прибавка умножается на малый параметр, чтобы получить функцию стоимости в зависимости от малого параметра, и дальше требовать её минимум в нуле средствами матана. Таким образом, для каждой формы прибавки получаем условие на минимум целевой функции для неё на искомой траектории при нуле параметра малости, и дальше просто распространяем это условие на вариации произвольной формы в рассматриваемом классе.

-- 25.08.2018, 00:26 --

misha.physics в сообщении #1334408 писал(а):

О, там даже можно будет получить, что входной и выходной лучи будут параллельны.

Там, даже, можно получить условие полного внутреннего отражения...

[Munin]

realeugene в сообщении #1334415 писал(а):

Там, даже, можно получить условие полного внутреннего отражения...

А угол Брюстера?

misha.physics
У Фейнмана в Лекциях по физике есть замечательная отдельная лекция: глава 19 в томе 6 Электродинамика. Она сделана как отступление в сторону, и поэтому замечательно читается отдельно.

Советую вам прочитать её.

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1334433 писал(а):

Советую вам прочитать её.

Обязательно, спасибо.

[realeugene]

Munin в сообщении #1334433 писал(а):

А угол Брюстера?

В рамках геометрической оптики?

[Munin]

А, то есть, вопросы поляризации - это уже безусловно волновая?

[realeugene]

Munin в сообщении #1334449 писал(а):

А, то есть, вопросы поляризации - это уже безусловно волновая?

Нет, не безусловно. Для прямого луча можно постулировать две независимые поляризяции, разумеется. Но как вы в рамках геометрической оптики будете рассматривать многочисленные эффекты, изменяющие поляризацию - будет интересно посмотреть.

[Munin]

По сути, при преломлении нет как такового изменения поляризации. Есть перераспределение (энергии светового луча): при одной поляризации сколько-то преломляется, сколько-то отражается; при другой - другие доли.

[realeugene]

Munin в сообщении #1334453 писал(а):

По сути, при преломлении нет как такового изменения поляризации.

Это зависит от выбранного вами поляризационного базиса.

[Munin]

А кстати, может быть! Приведёте пример?

[realeugene]

Munin в сообщении #1334483 писал(а):

А кстати, может быть! Приведёте пример?

В вашей постановке задачи, когда есть пара линейно поляризованных осей с различными действительными коэффициентами отражения (без взаимного фазового сдвига, который тоже может вноситься в более сложных случаях и может приводить к превращению линейной поляризации в круговую), достаточно будет использовать линейно поляризованный свет с наклонённой относительно этих осей плоскостью поляризации, чтобы при отражении или преломлении плоскость поляризации повернулась на какой-то угол.

Кстати, это, конечно, немного не то, про что вы писали, но в магнетооптических дисках использовался поверхностный эффект Керра для детектирования записанных на их поверхность магнитных питов по вращению плоскости поляризации отраженного от них лазерного луча.

[Munin]

Спасибо, интересно!