Трисекция угла

[wrest]

pechatnik в сообщении #1333942 писал(а):

Если считать деление угла пополам за одну не сложную операцию

Несложные (элементарные) это проведение одной линии (прямой или окружности). Для деления угла пополам надо больше одной.

[arseniiv]

Кстати, тем, кто интересуется экономичными построениями, можно посоветовать игру типа Euclidea — среди целей там есть построения за минимум примитивов.

[Евгений Машеров]

pechatnik в сообщении #1333919 писал(а):

Уважаемый Евгений Машеров, как бы Вы поступили если бы этот метод открыли Вы сами?

Обратился бы к кому-то, кто мог бы проверить и указать на, увы, более чем вероятные ошибки.

[pechatnik]

Евгений Машеров в сообщении #1333978 писал(а):

pechatnik в сообщении #1333919 писал(а):

Уважаемый Евгений Машеров, как бы Вы поступили если бы этот метод открыли Вы сами?

Обратился бы к кому-то, кто мог бы проверить и указать на, увы, более чем вероятные ошибки.

Я понимаю Ваш скептицизм, но вопрос был немного в иной плоскости . Допустим, если в расчете ошибок нет, как бы Вы поступили в этом случае?

[svv]

pechatnik, Вы читали о методе трисекции угла с помощью невсиса?
Метод очень простой и почти честный (неспециалист, вероятно, и не заметит, что нарушены какие-то условия). Вместо нанесения меток на линейку можно просто приставить к ней циркуль. И ведь это точный метод!

[pechatnik]

"Знание - небольшое могущество, ибо оно не проявляется вовне и поэтому ни в ком не замечается, да и обладают им не все, а лишь немногие, и эти немногие обладают знанием лишь немногих вещей, а природа знания такова, что познать его наличие в ком-либо может лишь тот, кто сам в значительной степени овладел им."

T.H. MDCLI

[svv]

А что можно сказать о знании, запертом в сейф?

[Booker48]

Надо секретить! Помни Гиппаса!!!
Он вот рассекретил и это плохо кончилось.

[Евгений Машеров]

pechatnik в сообщении #1334012 писал(а):

Я понимаю Ваш скептицизм, но вопрос был немного в иной плоскости . Допустим, если в расчете ошибок нет, как бы Вы поступили в этом случае?

Я не могу утверждать, что ошибок нет. Я могу утверждать, что я их не вижу. А потому ли, что их действительно нет, потому ли, что у меня "глаз замылен" и я скольжу взглядом мимо неверного места, потому ли, что у меня недостаёт знаний и поэтому я опираюсь на неверные предположения, или что я вовсе лишён способности к логике и неправильно делаю выводы - не знаю.
Именно поэтому принято результаты публиковать. В надежде, что читающий статью внимателен и компетентен, и ошибки найдёт, а если не нашёл - есть шанс, что их и нет.
Где может быть опубликован данный результат - не знаю. Когда-то это мог бы быть материал для журнала "Квант", если его хорошо описать.
Насколько оправдано Ваше беспокойство за приоритет - не знаю. Полагаю, что вопрос практического построения давно снят многими способами, дающими достаточную точность (а если нужна точность выше - не будут строить циркулем и линейкой на бумаге, а, скажем, измерив теодолитом, разделят при помощи калькулятора и отложат треть угла посредством того же теодолита), а польза для теории от ещё одного приближения скромная. Тем не менее настаивать на том, чтобы опубликовать открыто, не вправе.

[Munin]

Для практических целей есть вот такое устройство:

http://www.etudes.ru/ru/etudes/angle-trisection/

Так и называется "трисектор".

(Это не единственный вариант конструкции.)

[mustang]

Всё очень просто. По крайней мере, я такой способ нашел ещё в школе в начале 90-х

Алгебраическая суть метода:

рассмотрим ряд:

$\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{2^{2k-1}} - \frac{1}{2^{2k}}) $

Очевидно, что

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2k-1}} = 2*\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2k}}$

и

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2k-1}} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2k}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1$

Поскольку это выражение также доказывает, что искомый ряд абсолютно сходящийся, то

$\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{2^{2k+1}} - \frac{1}{2^{2k}}) = \frac{1}{3}$

Трисекция произвольного угла с произвольной точностью есть последовательное применение операции деления угла пополам:

вначале мы бьём угол пополам, потом правую половину пополам, потом левую половину правой половины пополам, потом правую половину левой половины правой половины пополам и т.д.

Сходимость экспоненциальная. Если толщина карандашной линии треть градуса, то 10 шагов хватит, чтобы получить треть угла, близкого к полному. Понятно, что оставшуюся часть нужно разбить пополам, чтобы получить оставшиеся 2 трети.

Я так понимаю, что в смысле конструктивной математики задача трисекции произвольного угла с помощью циркуля и линейки считается, таким образом, решённой.

[Евгений Машеров]

Ещё проще.
$\frac 1 3=0.01010101010101(01)_2$

[grizzly]

mustang в сообщении #1334079 писал(а):

Я так понимаю, что в смысле конструктивной математики задача трисекции произвольного угла с помощью циркуля и линейки считается, таким образом, решённой.

Нет. Считается решённой задача приближённой трисекции угла. Вот только Вы её решили слишком уж трудоёмким способом. За то же количество операций какой-нибудь конкретный угол (80--100 градусов, для примера, чтобы не совсем маленький) можно разделить на три части с точностью на 2-3 порядка лучше Вашей (которую Вы не плохо посчитали). Ну или около того. Это если недолго думать. Я не удивлюсь, если кто-то придумает алгоритм ещё на несколько порядков точнее.

[mustang]

Евгений Машеров в сообщении #1334082 писал(а):

Ещё проще.
$\frac 1 3=0.01010101010101(01)_2$

И куда в эту простоту воткнуть циркуль и линейку?

[Pphantom]

mustang в сообщении #1334126 писал(а):

И куда в эту простоту воткнуть циркуль и линейку?

Поскольку любой угол можно поделить пополам, многократное проведение такой процедуры позволит разделить его на $2^n$ частей, из которых требуемая треть угла набирается с любой заранее заданной точностью. Схема набора - это двоичное представление $1/3$, которое Евгений Машеров и написал. Т.е. берем четверть угла плюс шестнадцатую часть плюс $1/64$ часть плюс... и так пока не надоест требуемая точность не будет достигнута.