Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)

[Lia]

Lia в сообщении #1333704 писал(а):

что такое $M[f(i)]$ - Вы говорите, среднее. Среднее из скольких слагаемых?

ex-math в сообщении #1333708 писал(а):

Напишите определение среднего в виде формулы: $M[f(k)]=\ldots$

-- 21.08.2018, 18:37 --

vicvolf в сообщении #1333709 писал(а):

В Теореме 2 мне именно нужно такое выражение.

Если Вы хотите использовать понятие, отличное от ранее введенного, надо его ввести дополнительно. Мало ли что Вам нужно.

vicvolf в сообщении #1333709 писал(а):

Если перемножить, то будут одинаковые.

Нет. $(a_1+a_2)(b_1+b_2)\ne a_1b_1+a_2b_2$.

-- 21.08.2018, 19:12 --

Попробую по-другому. Вы хотите жить по аналогии с выборочным средним - тут, уместнее, конечно, просто среднее значение функции, - но на выборочном среднем нагляднее всего продемонстрировать:
Вы считаете $\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}$, Бог Вам судия, зачем. Для независимости? Объекта (т.е. функции) от самого себя? прелестно.

Но пусть. Так вот, если написать подробно, эта формула превращается в

$$\dfrac{x_1y_1+\ldots+x_ny_n}n-\dfrac{(x_1+\ldots+x_n)(y_1+\ldots+y_n)}{n^2},$$

что решительно не совпадает с видом выражений, приведенных Вами как в стартовом посте, так и позже.

[vicvolf]

ex-math в сообщении #1333708 писал(а):

Напишите определение среднего в виде формулы: $M[f(k)]=\ldots$

$M[f(k)]=\frac {\sum_{k=1}^n {f(k)}} {n}=\frac {f(1)+...+f(n)} {n}$

[Lia]

Lia в сообщении #1333710 писал(а):

что такое $M[f(i)]$

Мое опять забыли, ну что за дискриминация.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1333718 писал(а):

Lia в сообщении #1333710 писал(а):

что такое $M[f(i)]$

Мое опять забыли, ну что за дискриминация.

$M[f(i)]=(\sum_{i=1}^n {f(i)})/n=\frac {f(1)+...f(n)} {n}$

$M[f(j)]=(\sum_{j=1}^n {f(j)})/n=\frac {f(1)+...f(n)} {n}$

$M[f(i)]M[f(j)]=(\frac {f(1)+...f(n)} {n}) (\frac {f(1)+...f(n)} {n})=\frac {\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}} {n^2}$

$M[f(i)]M[f(j)]=(\frac {f(1)+...f(n)} {n}) (\frac {f(1)+...f(n)} {n})=\frac{(\sum_{k=1}^n {f(k)})^2} {n^2}$

[g______d]

vicvolf в сообщении #1333722 писал(а):

$M[f(i)]=(\sum_{i=1}^n {f(i)})/n=\frac {f(1)+...f(n)} {n}$

Непонятно. Левая часть зависит от $i$, а правая от $n$?

[Lia]

vicvolf в сообщении #1333722 писал(а):

$M[f(i)]=(\sum_{i=1}^n {f(i)})/n=\frac {f(1)+...f(n)} {n}$

$M[f(j)]=(\sum_{j=1}^n {f(j)})/n=\frac {f(1)+...f(n)} {n}$

Чудесно. Тем самым, $M[f(i)]=M[f(j)]$, для любых $i,j$, что естественно, поскольку ни от того, ни от другого они не зависят, и да, конечно, тогда они оба равны еще какому-нибудь $M[f(k)]$, ну и т.д.
Поскольку $n$ у Вас явно фиксировано-это так? - можно обозначить его - очевидно, что это один и тот же объект, как-то единообразно, например, $M_f$. Да, но что же дальше?

[ex-math]

Это определение, так что левая часть зависит от $n$, а не от $i$. Но что это за $n$ в каждом случае употребления этого обозначения, теперь надо пояснять. А в (1) есть еще одно $n$ под знаком функции...

[vicvolf]

ex-math в сообщении #1333733 писал(а):

Это определение, так что левая часть зависит от $n$, а не от $i$. Но что это за $n$ в каждом случае употребления этого обозначения, теперь надо пояснять. А в (1) есть еще одно $n$ под знаком функции...

$n$ - 'это аргумент в функции Мертенса $M(n)$ или Лиувилля $L(n)$. Если эти сумматорные функции обозначить $S(n)$, то $S(n)=\sum_{k=1}^n {f(k)}$, где $f(k)$ обозначает слагаемые арифметические функции (Мебиуса - $\mu(k)$ или Лиувилля - $\lambda(k)$).

[Lia]

vicvolf
От Вас не ждут оправданий и пояснений, от Вас ждут исправлений хотя бы в таком ключе, чтобы человек с хорошим математическим образованием смог все это прочитать и не забросил на первых же строках, что произошло с самого начала, т.е. в момент публикации этой темы. На нее не было отзывов, потому что никто такое читать добровольно не будет. Даже запись бредовая, а ведь надо еще разбираться по существу вопроса.

[g______d]

Я готов читать текст до первой ошибки, или до первого места, которое написано так, что нормальный человек с математическим образованием не может это однозначно интерпретировать. И не буду двигаться дальше, пока не будет исправлено.

vicvolf в сообщении #1329752 писал(а):

Определение. Арифметические функции $f(k),f(k+n)$ являются асимптотически независимыми, если выполняется:

$\lim_{n \to \infty} {M[f(k)f(k+n)]-M[f(k)]M[{f(k+n)])=0$,(1)

$f(k)$ -- это не функция, а число. Иногда этим пренебрегают, но в данном случае, поскольку имеется $f(k+n)$, в котором непонятно, что аргумент функции, а что параметр. Перепишите это определение с кванторами (например, непонятно, какой квантор стоит перед $k$). Выпишите определение $M[]$.

Предложение: ввести обозначение $M_n[f]=\frac{f(1)+\ldots+f(n)}{n}$. Никаких $M[f(k)]$.

Исправьте и выпишите исправленный текст под тегом (чтобы не загромождать тему). Как только будет исправлено, я готов высказать дальнейшие замечания.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1333739 писал(а):

vicvolf
От Вас не ждут оправданий и пояснений, от Вас ждут исправлений хотя бы в таком ключе, чтобы человек с хорошим математическим образованием смог все это прочитать и не забросил на первых же строках, что произошло с самого начала, т.е. в момент публикации этой темы. На нее не было отзывов, потому что никто такое читать добровольно не будет. Даже запись бредовая, а ведь надо еще разбираться по существу вопроса.

Человек с хорошим математическим образованием ex-math, который участвует в этом обсуждении, смог все это прочитать и не запросил ни на первых, ни на последних строках пояснений.
Более того он дал правильные замечания к материалу. Я уже об этом писал в теме и благодарил за помощь его и еще двух заслуженных участников, которые согласились посмотреть материал заранее. Тема была уже обсуждена и помещена в Общие вопросы (просто для информации). Зачем она была перенесена в дискуссионный раздел без согласования со мной я не знаю.

[Modest]

vicvolf, я думаю, Вы должны быть заинтересованы в желании участников перевести эту "теорему" (пока что в кавычках) на язык, общепринятый в математическом сообществе, и проверить её доказательство. Возможно, это последний раз, когда у участников есть такая возможность.

[Dmitriy40]

(Замечание к вводу обозначений)

g______d в сообщении #1333740 писал(а):

Предложение: ввести обозначение $M_n[f]=\frac{f(1)+\ldots+f(n)}{n}$. Никаких $M[f(k)]$.

Простите, но разве не лучше ввести обозначение $M(f,n)$ вместо $M_n[f]$? Ведь вводится не $n$ разных функций $M$, а лишь одна функция среднего для разного количества элементов произвольной функции $f$.
Собственно тогда и определение в новых обозначениях: $M(f,n)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}f(i)$.
Но можно ли сюда подставлять $n=\infty$ без запрятывания под предел $\lim\limits_{n\to\infty}$ вызывает вопросы.

[g______d]

Dmitriy40, меня устроят оба варианта, лишь бы компилировались.

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1333746 писал(а):

Простите, но разве не лучше ввести обозначение $M(f,n)$

Там же дальше будет какое-то среднее от произведения функций. И в нём уже параметр $n$ входит в одну из функций (рассматривается сдвиг функции на $n$ единиц), из-за чего введенные определения и обозначения так конфликтуют между собой, что ни ТС ни всё сообщество так и не смогли продвинуться в их понимании.