Асимптотическая независимость слагаемых функций M(n) и L(n)

[vicvolf]

Вопрос об асимптотической независимости слагаемых функции Мертенса (функций Мебиуса) уже на форуме поднимался, но тогда я не смог привести доказательство.

Сейчас, когда доказательство сделано и материалы опубликованы, появилась такая возможность.

Так как ссылки на статью на форуме не приняты, то приведу только выдержки из нее.


Определение. Арифметические функции $f(k),f(k+n)$ являются асимптотически независимыми, если выполняется:

$\lim_{n \to \infty} {M[f(k)f(k+n)]-M[f(k)]M[{f(k+n)])=0$,(1)

где $M[]$ - среднее значение арифметической функции в квадратных скобках.

Теорема 1

Для арифметических функций Лиувилля и Мебиуса $f(k)$ выполняется оценка:

$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=o(1/n)$, (2)

где $M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not= j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.

Доказательство

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2=\sum \sum _{i \not= j }{f(i)f(j)}+\sum_{k=1}^n {f(k)}$ (3)

Разделим (3) на $n(n-1)$:

$M[f(i)f(j)]+\sum_{k=1}^n {f(k)}/n(n-1)=(\sum_{k=1}^n {f(k)})^2/n(n-1)$. (4)

Учитывая, что $\sum_{k=1}^n {f(k)}=o(n)$ получим:

$\sum_{k=1}^n {f(k)}/n(n-1)=o(1/n)$. (5)

На основании (4) и (5) получим:
$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=(\sum_{k=1}^n {f(k})^2/n(n-1)+o(1/n)- (\sum_{k=1}^n{f(k)})^2/n^2$. (6)

На основании (6) получим:
$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2/n^2(n-1)+o(1/n)=o(1/n)$,

которая соответствует формуле (2).

Из формулы (2) следует асимптотическая независимость (1).

Асимптотическая независимость слагаемых функций Мертенса и Лиувилля (Теорема 1) дает возможность найти порядок стандартного отклонения указанных арифметических функций.

Теорема 2

Порядок стандартного отклонения сумматорных арифметических функций Мертенса и Лиувилля равен:
$O(n^{1/2})$. (7)

Доказательство

Рассмотрим отклонение сумматорной арифметической функции $S(n)$ от своего среднего значения:

$F(n)=\sum_{k=1}^n {f(k) -M[\sum_{k=1}^n {f(k)]}=\sum_{k=1}^n (f(k)-M[f(k)])=\sum_{k=1}^n {a(k)}$, (8)

где $a(k)=f(k)-M[f(k)]$.

На основании (8) определим арифметическую функцию $F^2(n)$:

$F^2(n)=(\sum_{k=1}^n {a(k))^2=\sum_{k=1}^n {a^2(k)}+\sum \sum _{i \not= j }{a(i)a(j)}$. (9)

Учитывая (9) найдем среднее значение арифметической функции $F^2(n)$:

$M[F^2(n)]=M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}]+M[\sum \sum _{i \not= j }{a(i)a(j)}]$. (10)

Сделаем оценку первого слагаемого (10):

$M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}]=\sum_{k=1}^n {M[a^2(k)}] \leq \sum_{k=1}^n {M[f^2(k)}]$. (11)

Учитывая, что для арифметических функций Мебиусса и Лиувилля выполняется $|f(k)| \leq 1$, то:

$M[f^2(k)}]=\sum_{k=1}^n {f^2(k)/n} \leq 1$. (12)

На основании (11) и (12) получаем оценку первого слагаемого:

$M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}] \leq \sum_{k=1}^n {M[f^2(k)}] \leq n$, (13)

т.е. $M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}] = O(n)$.

Сделаем оценку второго слагаемого (10):

$M[\sum \sum _{i \not= j }{a(i)a(j)}]=\sum \sum _{i \not= j }M[{a(i)a(j)}] =\sum \sum _{i \not= j }{(M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)])}$. (14)

На основании Теоремы 1 и (14) оценка второго слагаемого:

$M[\sum \sum _{i \not= j }{a(i)a(j)}]=n(n-1)o(1/n)=o(n)$. (15)

На основании (13) и (15) порядок среднего значения арифметической функции $F^2(n)$ равен:

$M[F^2(n)]=O(n)$. (16)

Из (16) получим искомую оценку для порядка стандартного отклонения для сумматорных арифметических функций Мертенса и Лиувилля:
$O(n^{1/2})$, которая соответствует (7).

Покажем, что формулу (7) нельзя улучшить.

Предположим, что выполняется гипотеза Римана, тогда $\sum_{k=1}^n {f(k) =O(n^{1/2+\epsilon})$, где $\epsilon$ - малое положительное число.

Тогда оценка в Теореме 1 изменилась бы на:
$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=O(n^{-3/2+\epsilon})$.

Однако, в Теореме 2 оценка первого слагаемого $O(n)$ в формуле (13) не изменилась бы, поэтому не изменилась бы и общая оценка порядка стандартного отклонения для функций Мертенса и Лиувилля - $O(n^{1/2})$ в формуле (7).

Я хотел бы поблагодарить заслуженных участников форума: Руст, ex-math и Drog-Andrey, которые согласились предварительно прочитать данные материалы и дать замечания, которые я по возможности учел.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1329752 писал(а):

где $M[]$ - среднее значение арифметической функции в квадратных скобках.

Это основное определение.
С ним не согласуется

Цитата:

$M[f(i)f(j)]=\sum \sum_{i \neq j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.

- ни первое, ни второе.

vicvolf в сообщении #1329752 писал(а):

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2=\sum \sum _{i \not= j }{f(i)f(j)}+\sum_{k=1}^n {f(k)}$ (3)

Последнее слагаемое не такое, дальнейшие рассуждения основаны на этой ошибке.

Пока достаточно.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1333608 писал(а):

vicvolf в сообщении #1329752 писал(а):

где $M[]$ - среднее значение арифметической функции в квадратных скобках.

Это основное определение.
С ним не согласуется

Цитата:

$M[f(i)f(j)]=\sum \sum_{i \neq j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.

- ни первое, ни второе.

Первая сумма произведений двух арифметических функций берется по $i \neq j $ слагаемым, поэтому делится на их количество $n(n-1)$. Вторая сумма произведений двух арифметических функций берется по всем слагаемым, поэтому делится на их количество $n^2$. Оценка сверху разности именно этих сумм мне требуется в Теореме 2

vicvolf в сообщении #1329752 писал(а):

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2=\sum \sum _{i \not= j }{f(i)f(j)}+\sum_{k=1}^n {f(k)}$ (3)

Цитата:

Последнее слагаемое не такое, дальнейшие рассуждения основаны на этой ошибке.

Да, здесь я допустил неточность (забыл квадрат). В статье все было правильно, а здесь описался. Надо писать:

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2=\sum \sum _{i \not= j }{f(i)f(j)}+\sum_{k=1}^n {f^2(k)}$ (3)

Поэтому оценка в Теореме 1 изменится на $O(1/n)$, но окончательная оценка в Теореме 2 не изменится. Сейчас я сделаю исправление в теме.

-- 21.08.2018, 11:08 --

Вопрос об асимптотической независимости слагаемых функции Мертенса (функций Мебиуса) уже на форуме поднимался, но тогда я не смог привести доказательство.

Сейчас, когда доказательство сделано и материалы опубликованы, появилась такая возможность.

Так как ссылки на статью на форуме не приняты, то приведу только выдержки из нее.


Определение. Арифметические функции $f(k),f(k+n)$ являются асимптотически независимыми, если выполняется:

$\lim_{n \to \infty} {M[f(k)f(k+n)]-M[f(k)]M[{f(k+n)])=0$,(1)

где $M[]$ - среднее значение арифметической функции в квадратных скобках.

Теорема 1

Для арифметических функций Лиувилля и Мебиуса $f(k)$ выполняется оценка:

$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=O(1/n)$, (2)

где $M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not= j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.

Доказательство

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2=\sum \sum _{i \not= j }{f(i)f(j)}+\sum_{k=1}^n {f^2(k)}$ (3)

Разделим (3) на $n(n-1)$:

$M[f(i)f(j)]+\sum_{k=1}^n {f(k)}/n(n-1)=(\sum_{k=1}^n {f(k)})^2/n(n-1)$. (4)

Учитывая, что $|f(k)|<1$ получим $\sum_{k=1}^n {f^2(k)}=O(n)$,следовательно:

$\sum_{k=1}^n {f^2(k)}/n(n-1)=O(1/n)$. (5)

На основании (4) и (5) получим:

$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=(\sum_{k=1}^n {f(k})^2/n(n-1)+O(1/n)- (\sum_{k=1}^n{f(k)})^2/n^2$. (6)

На основании (6) получим:

$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=(\sum_{k=1}^n{f(k)})^2/n^2(n-1)+O(1/n)=O(1/n)$,

которая соответствует формуле (2).

Из формулы (2) следует асимптотическая независимость (1).

Асимптотическая независимость слагаемых функций Мертенса и Лиувилля (Теорема 1) дает возможность найти порядок стандартного отклонения указанных арифметических функций.

Теорема 2

Порядок стандартного отклонения сумматорных арифметических функций Мертенса и Лиувилля равен:

$O(n^{1/2})$. (7)

Доказательство

Рассмотрим отклонение сумматорной арифметической функции $S(n)$ от своего среднего значения:

$F(n)=\sum_{k=1}^n {f(k) -M[\sum_{k=1}^n {f(k)]}=\sum_{k=1}^n (f(k)-M[f(k)])=\sum_{k=1}^n {a(k)}$, (8)

где $a(k)=f(k)-M[f(k)]$.

На основании (8) определим арифметическую функцию $F^2(n)$:

$F^2(n)=(\sum_{k=1}^n {a(k))^2=\sum_{k=1}^n {a^2(k)}+\sum \sum _{i \not= j }{a(i)a(j)}$. (9)

Учитывая (9) найдем среднее значение арифметической функции $F^2(n)$:

$M[F^2(n)]=M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}]+M[\sum \sum _{i \not= j }{a(i)a(j)}]$. (10)

Сделаем оценку первого слагаемого (10):

$M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}]=\sum_{k=1}^n {M[a^2(k)}] \leq \sum_{k=1}^n {M[f^2(k)}]$. (11)

Учитывая, что для арифметических функций Мебиусса и Лиувилля выполняется $|f(k)| \leq 1$, то:

$M[f^2(k)}]=\sum_{k=1}^n {f^2(k)/n} \leq 1$. (12)

На основании (11) и (12) получаем оценку первого слагаемого:

$M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}] \leq \sum_{k=1}^n {M[f^2(k)}] \leq n$, (13)

т.е. $M[\sum_{k=1}^n {a^2(k)}] = O(n)$.

Сделаем оценку второго слагаемого (10):

$M[\sum \sum _{i \not= j }{a(i)a(j)}]=\sum \sum _{i \not= j }M[{a(i)a(j)}] =\sum \sum _{i \not= j }{(M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)])}$. (14)

На основании Теоремы 1 и (14) оценка второго слагаемого:

$M[\sum \sum _{i \not= j }{a(i)a(j)}]=n(n-1)O(1/n)=O(n)$. (15)

На основании (13) и (15) порядок среднего значения арифметической функции $F^2(n)$ равен:

$M[F^2(n)]=O(n)$. (16)

Из (16) получим искомую оценку для порядка стандартного отклонения для сумматорных арифметических функций Мертенса и Лиувилля:
$O(n^{1/2})$, которая соответствует (7).

Покажем, что формулу (7) нельзя улучшить.

Предположим, что выполняется гипотеза Римана, тогда $\sum_{k=1}^n {f(k) =O(n^{1/2+\epsilon})$, где $\epsilon$ - малое положительное число.

Тогда оценка в Теореме 1 изменилась бы на:
$M[f(i)f(j)]-M[f(i)]M[f(j)]=O(n^{-3/2+\epsilon})$.

Однако, в Теореме 2 оценка $O(n)$ в формуле (13) не изменилась бы, поэтому не изменилась бы и общая оценка порядка стандартного отклонения для функций Мертенса и Лиувилля - $O(n^{1/2})$ в формуле (7).

Я хотел бы поблагодарить заслуженных участников форума: Руст, ex-math и Drog-Andrey, которые согласились предварительно прочитать данные материалы и дать замечания, которые я по возможности учел.

[grizzly]

Я пытаюсь это читать, но с самого начала ничего не могу понять. Буду уточнять по порядку.

vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):

Арифметические функции $f(k),f(k+n)$

Правильно ли я понимаю, что это два семейства арифметических функций? Или это две функции? Или это вообще одна функция, а буквой $k$ обозначен аргумент функции, тогда $f(k+n)$ это та же самая функция, но со сдвигом аргумента? Если $k$ это аргумент функции, тогда в следующем определении

vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):

где $M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not= j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.

выражения в левых частях равенств это функции от двух переменных $i$ и $j$, а справа -- функции одной переменной $n$.

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1333666 писал(а):

Я пытаюсь это читать, но с самого начала ничего не могу понять. Буду уточнять по порядку.

vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):

Арифметические функции $f(k),f(k+n)$

Правильно ли я понимаю, что это два семейства арифметических функций? Или это две функции? Или это вообще одна функция, а буквой $k$ обозначен аргумент функции, тогда $f(k+n)$ это та же самая функция, но со сдвигом аргумента? Если $k$ это аргумент функции, тогда в следующем определении

vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):

где $M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not= j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.

выражения в левых частях равенств это функции от двух переменных $i$ и $j$, а справа -- функции одной переменной $n$.

$f(k)$- это арифметическая функция одного аргумента $k$. В данном случае это либо арифметическая функция Мебиуса - $\mu(k)$, либо арифметическая функция Лиувилля $\lambda(k)$, т.е. соответственно слагаемых сумматорных функции Мертенса $M(n)$ или Лиувилля $L(n)$.

[grizzly]

А $f(k+n)$ -- это та же самая функция? То есть, если $f(k)$ -- функция Мёбиуса, то $f(k+n)$ -- тоже обязательно функция Мёбиуса или может быть и функцией Лиувилля?

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1333675 писал(а):

А $f(k+n)$ -- это та же самая функция? То есть, если $f(k)$ -- функция Мёбиуса, то $f(k+n)$ -- тоже обязательно функция Мёбиуса или может быть и функцией Лиувилля?

Та же самая функция при другом значении аргумента.

[grizzly]

Понятно, я так и думал. Только это не одна функция а семейство -- я намекал об этом в прошлом сообщении. Итого имеем.

vicvolf в сообщении #1329752 писал(а):

Определение. Арифметические функции $f(k),f(k+n)$ являются асимптотически независимыми, если выполняется:

Значит, здесь рассматривается одна функция $f(k)$ и одно семейство функций $f(k+n), n\ge 1$. И далее говорится, что данная функция является асимптотически независимой с этим семейством, если выполнено некое предельное отношение при $n\to \infty$.

Ок, с этим более-менее понятно, хотя звучит несколько коряво. Но всё же лучше, чем было.

Остался без ответа следующий вопрос в моём предыдущем сообщении:

grizzly в сообщении #1333666 писал(а):

Если $k$ это аргумент функции, тогда в следующем определении

vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):

где $M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not= j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.

выражения в левых частях равенств это функции от двух переменных $i$ и $j$, а справа -- функции одной переменной $n$.

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1333685 писал(а):

Остался без ответа следующий вопрос в моём предыдущем сообщении:

grizzly в сообщении #1333666 писал(а):

Если $k$ это аргумент функции, тогда в следующем определении

vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):

где $M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not= j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.

выражения в левых частях равенств это функции от двух переменных $i$ и $j$, а справа -- функции одной переменной $n$.

$f(i)f(j)$ - это произведений разных значений одной функции.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1333690 писал(а):

$f(i)f(j)$ - это произведений разных значений одной функции.

Это я понимаю. Я про другое. Запись $M[f(i)f(j)]$ обозначает некоторую функцию $M$ от двух переменных $i$ и $j$. Откройте любой учебник и убедитесь в этом, пожалуйста. Постарайтесь корректно записать определение среднего, чтобы его можно было понять формально, а не только на жестах.

Кстати, насчёт определения асимптотической независимости. Там же семейство функций $f(k+n)$ полностью определяется функцией $f(k)$. Поэтому нет смысла включать его в область данных этого определения. Тогда нужно давать просто определение асимптотической независимости одной функции (или, для ясности, сказать, что она независима сама от себя).
Правильно ли я понимаю по Вашему определению, что функция $f(x)\equiv 1$ является простым и наглядным примером асимптотически независимой функции? Я всё пытаюсь понять пользу этого определения, до того, как начинать разбираться с дальнейшим жонглированием.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1333656 писал(а):

$M{f(i)f(j)]=\sum \sum _{i \not= j }{f(i)f(j)}/n(n-1),M[f(i)]M[f(j)]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n {f(i)f(j)}/n^2$.

Во-первых, на каком основании Вы выбрасываете слагаемые из первой суммы.
Во-вторых, - произведение сумм и сумма произведений это очень разные вещи.

И grizzly прав, конечно же.
Напишите для определенности сперва, что такое $M[f(i)]$ - Вы говорите, среднее. Среднее из скольких слагаемых?

[vicvolf]

Среднее значение обычно принято обозначать чертой сверху. Так это и надо понимать. Черту сверху писать не хотелось - это бы некрасиво. Поскольку среднее значение это эквивалент математического ожидания в теории вероятности, то я обозначил среднее значение $M[]$ от арифметической функции в квадратных скобках. Просто среднее значение более привычный термин в теории арифметических функций.
Если вспомнить свойство математических ожиданий, что математическое ожидание произведения двух независимых величин равно произведению их математических ожиданий, а в данном случае говорится об асимптотической независимости величин, то станет понятен смысл формулы (1).

[Lia]

Пожалуйста, не надо сюда про случайные величины - их тут нет. Ответьте на остальные вопросы, будьте так добры.

[ex-math]

Напишите определение среднего в виде формулы: $M[f(k)]=\ldots$

[vicvolf]

Lia в сообщении #1333704 писал(а):

Во-первых, на каком основании Вы выбрасываете слагаемые из первой суммы.

В Теореме 2 мне именно нужно такое выражение. В обозначении $M[{f(i)f(j)]$ надо было еще написать, что $i \not= j$.

Цитата:

Во-вторых, - произведение сумм и сумма произведений это очень разные вещи.

Если перемножить, то будут одинаковые.