Оценка параметров закона распределения

[GlazkovD]

Имеется функция нормального распределения

$$f(x)=\frac {1} {\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{ {(x-m)} ^2}{2\sigma ^2}}$$

у которой нужно оценить

$$\sigma$$

и

$$m$$

(ТЕКУЩАЯ МОЯ ЗАДАЧА)
Имеется выборка X у которой уже найдены: Несмещенная оценка мат. ожидания и несмещенная оценка дисперсии.
Например mx0=1.138 ; Dx0=1.846

Учебник предлагает следующий алгоритм(как я понял) (Метод моментов).

1) Находим математическое ожидание теоретической функции.

$$mx=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx =g(m,\sigma)$$

2) Находим дисперсию теоретической функции.

$$Dx=\int_{-\infty}^{\infty} {(x-mx)} ^2 f(x) dx =h(m,\sigma)$$

3) Составляем систему уравнений

$$g(m,\sigma)=mx0$$

и

$$h(m,\sigma)=Dx0$$

из которой находим наши

$$\sigma$$

и

$$m$$

ВОПРОС1: Так ли я понял ?
ВОПРОС2: Как проинтегрировать эту функцию, не зная

$$\sigma$$

и

$$m$$

?

Заранее спасибо за ответы.

[PAV]

GlazkovD писал(а):

уже найдены: Несмещенная оценка мат. ожидания и несмещенная оценка дисперсии.

Если требуются точечные оценки, то это уже сделано и непонятно, зачем делать что-то еще.

Если же требуются интервальные - тогда надо еще кое-что сделать.

Вы что-то неправильно поняли в учебнике. Хотя бы потому, что математическое ожидание теоретической функции $g(m,\sigma)$ должно получиться просто $m$, а дисперсия должна просто $\sigma^2$.

[GlazkovD]

Нашел пример


Не понял. Сдесь вроде бы к моей

$$\sigma$$

приравняли корень из Точечной несмещенной оценки дисперсии(рассчитана по реальной выборке).

$$m$$

приравняли к мат ожиданию(несмещенное) (рассчитано по реальной выборке).

Хм. Чего то я не понимаю, а где интегрирование функции плотности нормального распределения
-------------------------------------------------------------------

$$\sigma$$

и

$$m$$

нужно отыскать для выдвижения гипотезы распределения.
Задача выдвинуть именно гипотезу. Для нее и нужны эти параметры.
А выразить их хочется через уже известное мат ожидание и дисперсию.

Я собственно вот о чем говорю

[PAV]

Метод моментов заключается в том, что теоретические моменты приравниваются к выборочным. Выборочные моменты - считаются по выборке. Например, выборочное среднее есть среднее арифметическое значений выборки, а теоретическое среднее равно $m$, отсюда имеем точечную оценку среднего. Аналогично с выборочной дисперсией.

[GlazkovD]

Вот вот.
Однако для определения

$$\sigma$$

,

$$m$$

как я понимаю, нужно составлять систему уравнений

Теоретическое мат ожидание= мат одижание выборки
Теоретическая дисперсия=дисперсия выборки

А для этого (для получения теоретического мат ожидания

$$g(\sigma,m)$$

и для получения теоретической дисперсии

$$h(\sigma,m)$$

Нужно интегрировать f(x).
Вроде бы так ?

И оттуда уже извлекать

$$\sigma$$

и

$$m$$

[PAV]

Да, все так. Но теоретическое мат. ожидание как раз равно $m$, а теоретическая дисперсия равна $\sigma^2$. Это свойства нормального распределения и содержательный смысл их параметров.

[GlazkovD]

Т.е. для решения задачи ничего не нужно интегрировать ?
Просто приравнять ?

$$\sigma ^2$$

к дисперсии реальной
и

$$m$$

к реальному мат ожиданию

Просто я, как раз, и заткнулся на вопросе интегрирования, с бесконечными пределами и с неизвестными константами.

[PAV]

Слово "реальный" Вы употребляете неправильно. Реальные параметры - это как раз $m$ и $\sigma$, просто они неизвестны. Имеющиеся же у Вас числа - это выборочные характеристики, полученные в результате случайного опыта. Будет другой опыт - будут другие числа. Так что "реальными" их называть нельзя.

Вообще говоря, интегрировать надо, потому что вообще говоря оцениваемые параметры могут и не равняться теоретическим моментам. Но в данном конкретном случае это так. Интеграл с неизвестными параметрами на самом деле считается, когда изучают свойства нормального распределения. Тогда и доказывают, что $m$ равняется как раз теоретическому среднему, а $\sigma^2$ - дисперсии. Т.е. сделать это нужно, просто к моменту решения Вашей задачи я считаю, что это уже известно.