2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Оценка параметров закона распределения
Сообщение14.07.2008, 22:49 
Аватара пользователя
Имеется функция нормального распределения
$$f(x)=\frac {1} {\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{ {(x-m)} ^2}{2\sigma ^2}}$$
у которой нужно оценить $$\sigma$$ и $$m$$ (ТЕКУЩАЯ МОЯ ЗАДАЧА)
Имеется выборка X у которой уже найдены: Несмещенная оценка мат. ожидания и несмещенная оценка дисперсии.
Например mx0=1.138 ; Dx0=1.846

Учебник предлагает следующий алгоритм(как я понял) (Метод моментов).

1) Находим математическое ожидание теоретической функции.

$$mx=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx =g(m,\sigma)$$

2) Находим дисперсию теоретической функции.
$$Dx=\int_{-\infty}^{\infty} {(x-mx)} ^2 f(x) dx =h(m,\sigma)$$


3) Составляем систему уравнений
$$g(m,\sigma)=mx0$$ и $$h(m,\sigma)=Dx0$$

из которой находим наши $$\sigma$$ и $$m$$

ВОПРОС1: Так ли я понял ?
ВОПРОС2: Как проинтегрировать эту функцию, не зная $$\sigma$$ и $$m$$ ?

Заранее спасибо за ответы.

 
 
 
 
Сообщение14.07.2008, 23:01 
Аватара пользователя
GlazkovD писал(а):
уже найдены: Несмещенная оценка мат. ожидания и несмещенная оценка дисперсии.


Если требуются точечные оценки, то это уже сделано и непонятно, зачем делать что-то еще.

Если же требуются интервальные - тогда надо еще кое-что сделать.

Вы что-то неправильно поняли в учебнике. Хотя бы потому, что математическое ожидание теоретической функции $g(m,\sigma)$ должно получиться просто $m$, а дисперсия должна просто $\sigma^2$.

 
 
 
 
Сообщение14.07.2008, 23:03 
Аватара пользователя
Нашел пример
Изображение

Не понял. Сдесь вроде бы к моей
$$\sigma$$ приравняли корень из Точечной несмещенной оценки дисперсии(рассчитана по реальной выборке).

$$m$$ приравняли к мат ожиданию(несмещенное) (рассчитано по реальной выборке).

Хм. Чего то я не понимаю, а где интегрирование функции плотности нормального распределения :shock:
-------------------------------------------------------------------
$$\sigma$$ и $$m$$ нужно отыскать для выдвижения гипотезы распределения.
Задача выдвинуть именно гипотезу. Для нее и нужны эти параметры.
А выразить их хочется через уже известное мат ожидание и дисперсию.

Я собственно вот о чем говорю
Изображение

 
 
 
 
Сообщение14.07.2008, 23:09 
Аватара пользователя
Метод моментов заключается в том, что теоретические моменты приравниваются к выборочным. Выборочные моменты - считаются по выборке. Например, выборочное среднее есть среднее арифметическое значений выборки, а теоретическое среднее равно $m$, отсюда имеем точечную оценку среднего. Аналогично с выборочной дисперсией.

 
 
 
 
Сообщение14.07.2008, 23:14 
Аватара пользователя
Вот вот.
Однако для определения $$\sigma$$, $$m$$
как я понимаю, нужно составлять систему уравнений

Теоретическое мат ожидание= мат одижание выборки
Теоретическая дисперсия=дисперсия выборки

А для этого (для получения теоретического мат ожидания $$g(\sigma,m)$$ и для получения теоретической дисперсии $$h(\sigma,m)$$ Нужно интегрировать f(x).
Вроде бы так ?

И оттуда уже извлекать $$\sigma$$ и $$m$$

 
 
 
 
Сообщение14.07.2008, 23:17 
Аватара пользователя
Да, все так. Но теоретическое мат. ожидание как раз равно $m$, а теоретическая дисперсия равна $\sigma^2$. Это свойства нормального распределения и содержательный смысл их параметров.

 
 
 
 
Сообщение14.07.2008, 23:23 
Аватара пользователя
Т.е. для решения задачи ничего не нужно интегрировать ? :D
Просто приравнять ?

$$\sigma ^2$$ к дисперсии реальной
и $$m$$ к реальному мат ожиданию

Просто я, как раз, и заткнулся на вопросе интегрирования, с бесконечными пределами и с неизвестными константами.

 
 
 
 
Сообщение14.07.2008, 23:55 
Аватара пользователя
Слово "реальный" Вы употребляете неправильно. Реальные параметры - это как раз $m$ и $\sigma$, просто они неизвестны. Имеющиеся же у Вас числа - это выборочные характеристики, полученные в результате случайного опыта. Будет другой опыт - будут другие числа. Так что "реальными" их называть нельзя.

Вообще говоря, интегрировать надо, потому что вообще говоря оцениваемые параметры могут и не равняться теоретическим моментам. Но в данном конкретном случае это так. Интеграл с неизвестными параметрами на самом деле считается, когда изучают свойства нормального распределения. Тогда и доказывают, что $m$ равняется как раз теоретическому среднему, а $\sigma^2$ - дисперсии. Т.е. сделать это нужно, просто к моменту решения Вашей задачи я считаю, что это уже известно.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group