Существует ли такое простое число?

[Ktina]

Обозначим через $S(n)$ сумму десятичных цифр целого неотрицательного числа $n$.

Существует ли такое простое число $p$, что

$$p^{S(p)}+S(p)^{p}$$

тоже простое?

[waxtep]

Если и есть, то довольно большое.
1. Смотрим только $p=6m+1,S(p)=6n-2$, иначе оно будет на $2$ или $3$ делиться.
2. И, только составные $S(p)+1$, иначе будет делиться на $S(p)+1$ (МТФ).

Т.о., минимальный кандидат в $p$артию - пятизначное простое с $S(p)=34$ (четырехзначных простых с таким $S(p)$ нет). Так же могут подойти $S(p)= 64,76,94,\ldots$

[wrest]

Кандидаты от единицы до 10^5: 37987, 55897, 57787, 67993, 74797, 76597, 77893, 79657, 79693, 84697, 84787, 86677, 86767, 87973, 89917, 90997, 94777, 94993, 95947, 96973, 97387, 97927, 98467, 98737, 98773, 99277, 99367
На них мозгов не хватает на проверку простоты. Остальные проверены и не подходят.

[waxtep]

wrest в сообщении #1333302 писал(а):

На них мозгов не хватает на проверку простоты

вольфрамище-онлайнище делает вид, что с наименьшим из них справляется, и говорит нет

[wrest]

waxtep
А можно ль тут вольфраму верить?

[kotenok gav]

Конечно.

[wrest]

kotenok gav
Почему вы так думаете? Ведь доказательств-то вольфрам не предъявляет.

[kotenok gav]

Потому что он никогда раньше не ошибался.

[waxtep]

wrest в сообщении #1333306 писал(а):

А можно ль тут вольфраму верить?

Наверное; минимальное, на к-ром он "ломается" - $34^{55897}+55897^{34}$ (причем, про некоторые другие бОльшие уверенно утверждает "нет"). Дальше надо или еще думать, или более мощные алгоритмы/железо привлекать. Вряд ли для чисел такой величины вольфрам сможет уверенно сказать "да"

[kotenok gav]

Надо брать несколько мощных компьютеров, и использовать распределенные вычисления (их же несколько) и записывать последнее провереное простое (жалко ведь, если отключится).

[Aritaborian]

Альфе в подобных вопросах на все сто доверять не стоит. И если вы нашли ошибку в её ответе на ваш запрос, напишите об этом через форму фидбэка (внизу страницы, открывается по клику на словах Give us your feedback).

[Someone]

$37987^{34}+34^{37987}$ делится на $491$.
$55897^{34}+34^{55897}$ делится на $2647$.
Вообще, надо попробовать факторизовать следующие.
Те, которые за приемлемое время не факторизуются, прогнать через PRP-тест (малую теорему Ферма).
Те, которые этот тест пройдут, почти наверняка простые, но доказать это будет очень трудно.

wrest, а это "кандидаты" в том смысле, что удовлетворяют двум указанным waxtep условиям?

[kotenok gav]

Те, которые PARI/GP отсеял

[Someone]

kotenok gav в сообщении #1333321 писал(а):

Те, которые PARI/GP отсеял

Ну, Вы бы выложили те, которые он не отсеял.

[kotenok gav]

Так я не запускал. Запускал wrest. А у меня лишь догадка (правда, я уверен на 100%),