Вычислить сумму ряда

[Tiberium]

Необходимо вычислить сумму ряда.

$$\sum\limits_{1\leqslant{a}\leqslant{b}\leqslant{c} \in \mathbb{N}}{\frac{1}{2^{a}3^{b}5^{c}}}$$

Можно заметить, что $S = \frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{2\cdot5}+\frac{1}{2^{N}\cdot{3}\cdot{5}}+\frac{1}{3^{N}\cdot{2}\cdot{5}}+\frac{1}{5^{N}\cdot{2}\cdot{3}}$

В пределе получим, что сумма равна $\frac{1}{3}$.

Верно ли это? :)

upd: Кажется, все-таки это неправильно. Как аккуратно посчитать эту сумму? Можно поочередно посчитать суммы и так же все сводить к сумме геометрической прогрессии?

[thething]

Попробовать сперва зафиксировать $a=b=1$ и посчитать при этом сумму по всем $c$. Затем, $a=1,b=2$ -- и снова сумму по всем $c$.. Потом из этих сумм собрать полную сумму при $a=1$. Потом всю процедуру повторить уже с $a=2$. Вроде закономерность получается (не проверял))

UPD: получилось произведение трёх прогрессий, если не напутал: $1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...$, $1+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{3^2\cdot5^2}+...$, $\frac{1}{2\cdot3\cdot5}+\frac{1}{2^2\cdot3^2\cdot5^2}+...$

[ex-math]

Я бы заменил $c=b+c'$ и $b=a+b'$, чтобы избавиться от неприятной треугольной области. Тогда все распадется в произведение геометрических прогрессий.

[JohnDou]

(Решение)

оказалось ошибочным

[Tiberium]

thething в сообщении #1332844 писал(а):

Попробовать сперва зафиксировать $a=b=1$ и посчитать при этом сумму по всем $c$. Затем, $a=1,b=2$ -- и снова сумму по всем $c$.. Потом из этих сумм собрать полную сумму при $a=1$. Потом всю процедуру повторить уже с $a=2$. Вроде закономерность получается (не проверял))

А если поочередно прогнать от $1$ до $N$ сначала $a$, потом для этой суммы прогнать все $b$, ну и, соответственно, для $c$. Ну, то есть это то же, что Вы предложили сделать, получается? Для первой из сумм получаем геометрическую прогрессию, в которой будет фигурировать $N$, потом для этой суммы пробегаем по всем $b$ и т.д. Не очень красиво, но, вроде, должно что-то получиться.

P.S. Как вообще научиться бегло манипулировать сигмой? В простых случаях с матрицами, конечно, проблем нет, но уже с тройной суммой началась путаница.

-- 16.08.2018, 12:56 --

JohnDou в сообщении #1332847 писал(а):

(Решение)

Вы к этому пришли, используя замену, как посоветовал выше ex-math?
Выглядит здорово, но не очень понятно, как к такому произведению прийти.

[thething]

Tiberium
Я там выше добавил, что у меня получилось. Лично мне как-то удобнее сперва фиксировать первое, потом второе и т.д. Под сигмой Вы имеете ввиду частичную сумму? Не думаю, что тут стОит её выписывать. А если выписывать, то, чтобы не запутаться и ничего не пропустить надо всё-равно договориться и что-то фиксировать, а остальное -- перебирать.

-- 16.08.2018, 11:59 --

thething в сообщении #1332849 писал(а):

Вы к этому пришли, используя замену, как посоветовал выше ex-math?

А мне вот тоже интересно, как так сумма распалась, если мы пробегаем не все возможные комбинации индексов?

[JohnDou]

thething,
а какие индексы мы пропустили?

[thething]

Так по условию $a\leqslant b\leqslant c$, а у Вас после раскрытия скобок получаются комбинации, которые это нарушают, ибо получается просто каждый с каждым, без разбора.

[Tiberium]

Всем спасибо, разобрался.

thething в сообщении #1332849 писал(а):

Под сигмой Вы имеете ввиду частичную сумму?

Я имел в виду в целом манипуляции со знаком суммирования. Иногда бывает, авторы в учебниках так хитро все переставляют, переобозначают индексы, а мне приходится аккуратно выписывать, скушать твикс, сделать паузу, подумать. Видимо, просто недостаточно практики.

[Shadow]

$S=\dfrac{1}{30}\left(\sum\limits_{0\le b\le c}\dfrac{1}{3^b5^c}+S\right)$

[Tiberium]

Shadow в сообщении #1332855 писал(а):

$S=\dfrac{1}{30}\left(\sum\limits_{0\le b\le c}\dfrac{1}{3^b5^c}+S\right)$

До такого додуматься я ещё не в состоянии, но попытаюсь вникнуть:) Спасибо!

[ex-math]

Производя указанные мной замены, получим

$$ \sum_{a=1}^\infty\frac1{2^a3^a5^a}\sum_{b'=0}^\infty\frac1{3^{b'}5^{b'}}\sum_{c'=0}^\infty\frac1{5^{c'}} $$

[Tiberium]

ex-math в сообщении #1332863 писал(а):

Производя указанные мной замены, получим

$$ \sum_{a=1}^\infty\frac1{2^a3^a5^a}\sum_{b'=0}^\infty\frac1{3^{b'}5^{b'}}\sum_{c'=0}^\infty\frac1{5^{c'}} $$

Спасибо за подсказку. Понял суть замен, но не очень понял, как мы все это превратили в произведение. Но это я туплю, сейчас до меня дойдет:)

[ex-math]

Сначала все было внутри самой внутренней суммы. То, что не зависит от $c'$, вынесли за скобку, и т.д.

[Tiberium]

ex-math в сообщении #1332870 писал(а):

Сначала все было внутри самой внутренней суммы. То, что не зависит от $c'$, вынесли за скобку, и т.д.

Все, понял, спасибо. Получается, предложенные Вами замены как раз позволяют учесть ограничения на переменные. Сначала хотел спросить, почему нельзя этот трюк сделать с исходной суммой, но не все так просто:)