Доказать тождество

[JohnDou]

Доказать тождество:

$\sum _{k \in \mathbb{Z}}\frac{\sin(\pi(t-k))\sin(2k)}{\pi(t-k)}=\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{2} \int _0^1\frac{\sin(\pi xt)\sin\left(\frac{(2n+1)(\pi x-2)}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi x-2}{2}\right)}-\frac{\sin(\pi xt)\sin\left(\frac{(2n+1)(\pi x+2)}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi x+2}{2}\right)}dx$

Любители вычислительной математики могут заняться поиском связи между конечными значениями $n$ и $k$. Например, если $n=1 000 000$, какие члены стоящего слева ряда дают наилучшее приближение правой части?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: для "головоломки" это, пожалуй, слишком.

[JohnDou]

Pphantom в сообщении #1332786 писал(а):

Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: для "головоломки" это, пожалуй, слишком.

На самом деле, для решения достаточно хороших знаний Тригонометрии (+теорема Ньютона-Лейбница, дифференцирование линейной функции, свойства определенных интегралов).

[kotenok gav]

Я смог немного преобразовать подынтегральное выражение:

(Оффтоп)

$\sin 1 \frac{(\cos (\pi xt-\frac{(2n+1)(\pi x-2)}{2})-\cos (\pi xt+\frac{(2n+1)(\pi x-2)}{2}))\cos \pi x}{\sin \frac{\pi-x}{2}\sin \frac{\pi+x}{2}}$

Как дальше?

[JohnDou]

kotenok gav
Думаю будет проще начать с левой части.

(Подсказка)

Слева есть $k$, справа нету. Пытайтесь избавиться от $k$.

[wrest]

Похоже, пора вспоминать что такое свертка и преобразование Фурье.

[ex-math]

Вы там коэффициент 2 забыли в левой части.
Это просто ядро Дирихле

$$ \frac{\sin(2n+1)\frac{\alpha}2}{\sin\frac{\alpha}2}=\sum_{k=-n}^n\cos k\alpha $$

Дальше все сворачивается

[JohnDou]

ex-math,

благодарю.

Просьба к модераторам: можно справа перед интегралом $\frac{1}{2}$ добавить?

[Pphantom]

JohnDou в сообщении #1335215 писал(а):

Просьба к модераторам: можно справа перед интегралом $\frac{1}{2}$ добавить?

Можно.