2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать тождество
Сообщение15.08.2018, 22:56 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Доказать тождество:
$\sum _{k \in \mathbb{Z}}\frac{\sin(\pi(t-k))\sin(2k)}{\pi(t-k)}=\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{2} \int _0^1\frac{\sin(\pi xt)\sin\left(\frac{(2n+1)(\pi x-2)}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi x-2}{2}\right)}-\frac{\sin(\pi xt)\sin\left(\frac{(2n+1)(\pi x+2)}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi x+2}{2}\right)}dx$


Любители вычислительной математики могут заняться поиском связи между конечными значениями $n$ и $k$. Например, если $n=1 000 000$, какие члены стоящего слева ряда дают наилучшее приближение правой части?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.08.2018, 23:39 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: для "головоломки" это, пожалуй, слишком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Posted automatically
Сообщение16.08.2018, 00:24 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Pphantom в сообщении #1332786 писал(а):
 i  Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: для "головоломки" это, пожалуй, слишком.

На самом деле, для решения достаточно хороших знаний Тригонометрии (+теорема Ньютона-Лейбница, дифференцирование линейной функции, свойства определенных интегралов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение16.08.2018, 05:38 


21/05/16
4292
Аделаида
Я смог немного преобразовать подынтегральное выражение:

(Оффтоп)

$\sin 1 \frac{(\cos (\pi xt-\frac{(2n+1)(\pi x-2)}{2})-\cos (\pi xt+\frac{(2n+1)(\pi x-2)}{2}))\cos \pi x}{\sin \frac{\pi-x}{2}\sin \frac{\pi+x}{2}}$

Как дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение16.08.2018, 08:33 
Аватара пользователя


20/07/18
103
kotenok gav
Думаю будет проще начать с левой части.

(Подсказка)

Слева есть $k$, справа нету. Пытайтесь избавиться от $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение16.08.2018, 10:26 


05/09/16
12113
Похоже, пора вспоминать что такое свертка и преобразование Фурье. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение16.08.2018, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Вы там коэффициент 2 забыли в левой части.
Это просто ядро Дирихле
$$
\frac{\sin(2n+1)\frac{\alpha}2}{\sin\frac{\alpha}2}=\sum_{k=-n}^n\cos k\alpha
$$
Дальше все сворачивается

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение29.08.2018, 09:30 
Аватара пользователя


20/07/18
103
ex-math,

благодарю.

Просьба к модераторам: можно справа перед интегралом $\frac{1}{2}$ добавить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение29.08.2018, 11:42 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
JohnDou в сообщении #1335215 писал(а):
Просьба к модераторам: можно справа перед интегралом $\frac{1}{2}$ добавить?
Можно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group