fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать тождество
Сообщение15.08.2018, 22:56 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Доказать тождество:
$\sum _{k \in \mathbb{Z}}\frac{\sin(\pi(t-k))\sin(2k)}{\pi(t-k)}=\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{2} \int _0^1\frac{\sin(\pi xt)\sin\left(\frac{(2n+1)(\pi x-2)}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi x-2}{2}\right)}-\frac{\sin(\pi xt)\sin\left(\frac{(2n+1)(\pi x+2)}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi x+2}{2}\right)}dx$


Любители вычислительной математики могут заняться поиском связи между конечными значениями $n$ и $k$. Например, если $n=1 000 000$, какие члены стоящего слева ряда дают наилучшее приближение правой части?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.08.2018, 23:39 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: для "головоломки" это, пожалуй, слишком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Posted automatically
Сообщение16.08.2018, 00:24 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Pphantom в сообщении #1332786 писал(а):
 i  Тема перемещена из форума «Загадки, головоломки, ребусы» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: для "головоломки" это, пожалуй, слишком.

На самом деле, для решения достаточно хороших знаний Тригонометрии (+теорема Ньютона-Лейбница, дифференцирование линейной функции, свойства определенных интегралов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение16.08.2018, 05:38 


21/05/16
4292
Аделаида
Я смог немного преобразовать подынтегральное выражение:

(Оффтоп)

$\sin 1 \frac{(\cos (\pi xt-\frac{(2n+1)(\pi x-2)}{2})-\cos (\pi xt+\frac{(2n+1)(\pi x-2)}{2}))\cos \pi x}{\sin \frac{\pi-x}{2}\sin \frac{\pi+x}{2}}$

Как дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение16.08.2018, 08:33 
Аватара пользователя


20/07/18
103
kotenok gav
Думаю будет проще начать с левой части.

(Подсказка)

Слева есть $k$, справа нету. Пытайтесь избавиться от $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение16.08.2018, 10:26 


05/09/16
12178
Похоже, пора вспоминать что такое свертка и преобразование Фурье. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение16.08.2018, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Вы там коэффициент 2 забыли в левой части.
Это просто ядро Дирихле
$$
\frac{\sin(2n+1)\frac{\alpha}2}{\sin\frac{\alpha}2}=\sum_{k=-n}^n\cos k\alpha
$$
Дальше все сворачивается

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение29.08.2018, 09:30 
Аватара пользователя


20/07/18
103
ex-math,

благодарю.

Просьба к модераторам: можно справа перед интегралом $\frac{1}{2}$ добавить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение29.08.2018, 11:42 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
JohnDou в сообщении #1335215 писал(а):
Просьба к модераторам: можно справа перед интегралом $\frac{1}{2}$ добавить?
Можно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group