Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс

[beykoney]

Здравствуйте. У меня снова возникла проблема с пониманием некоторых моментов.

На прямоугольный трехгранный клин $ABC$ массы $M$, лежащий на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости, положен подобный же, но меньший клин $BED$ массы $m$. Определить, на какое расстояние $x$ сместится влево большой клин, когда малый клин соскользнет вниз и займет такое положение, что точка $D$ совместится с $C$. Длины катетов $AC$ и $BE$ равны соответственно $a$ и $b$.





Ответ: $x = \frac{m}{M+m} (a - b)$.

Если записывать уравнения для центра масс, получается

$$(m+M) \vec a = M \vec g + m \vec g + \vec N \egno\qquad (1)$$ $$Ox\colon (m+M) a_x = 0 \egno\qquad (2)$$ $$Oy\colon (m+M) a_y = N - (m+M) g \egno\qquad (3)$$

где $\vec N$- сила реакции опоры горизонтальной плоскости.
У меня вопросы:
1. Как определить модуль $N$? Не интуитивно ведь полагать его равным $(m+M) g$? Из какого уравнения? Правильно ли я полагаю, что нужно рассмотреть $(3)$, оперевшись на факт, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно, обнулить левую часть и выразить $N$ таким образом?
2. Если в 1-ом вопросе я полагаю верно, то является ли данная система замкнутой? Ведь внешние силы на неё всё-таки действуют (сила тяжести) ?

[Eule_A]

Вот так и хочется спросить: и зачем Вам нужно движение центра масс по вертикали?..

И вообще, закон сохранения импульса в помощь. Только здесь нужно аккуратно разбираться: смещение кого относительно чего Вы рассматриваете. Пока всё.

[beykoney]

Eule_A в сообщении #1331831 писал(а):

И вообще, закон сохранения импульса в помощь. Только здесь нужно аккуратно разбираться: смещение кого относительно чего Вы рассматриваете. Пока всё.

Спасибо. Подумаю.

[beykoney]

По закону сохранения импульса, если взять за тело отсчёта горизонтальную плоскость, получается

$$0= M\vec V + m\vec v$$ $$M\vec V = - m\vec v $$

?
И я никак не пойму, куда двигаться дальше.

-- 12.08.2018, 18:12 --

А, нет. Решил. Наконец-то.
Спасибо, Eule_A , ещё раз.

[miflin]

beykoney в сообщении #1331984 писал(а):

Решил.

Спрошу на всякий случай.
Вы ж это уравнение $0= M\vec V + m\vec v$
умножили не просто на $t$, а на $dt$ и потом проинтегрировали?

[beykoney]

miflin в сообщении #1331994 писал(а):

beykoney в сообщении #1331984 писал(а):

Решил.

Спрошу на всякий случай.
Вы ж это уравнение $0= M\vec V + m\vec v$
умножили не просто на $t$, а на $dt$ и потом проинтегрировали?

Я решил без интегрирования.

[miflin]

Как, если не секрет? Вкратце.

[beykoney]

Возможно, это и не совсем прямой ход...
Я здесь $0= M\vec V + m\vec v$ раскрыл $\vec v$ через скорость, которую малый клин приобрёл относительно большого, и скорость самого большого клина. То есть, представил $\vec v$ через векторную сумму двух других скоростей.

Скорее всего, я наделал лишних кругов.
Но я парюсь над этой задачей больше суток, поэтому рад и не самому элегантному решению.)

[miflin]

Ну, хорошо... А как от скоростей перешли к перемещениям?

[beykoney]

Выразил из закона сохранения импульса $\vec V$ , взял его модуль, чтобы подставить сюда $x=\frac {a t ^2}{2} = \frac {V t} {2}$.

-- 12.08.2018, 19:09 --

У меня появился неизвестный $t ^2$ , который я выразил из уравнения двух выражений вертикального смещения верхнего клина.

[wrest]

beykoney
А вам надо обязательно написать уравнение движения? Ибо раз малый клин сместился на $a-b$ относительно большого, то и центр масс малого клина сместился вместе с ним на эти же $a-b$ (по горизонтали ессно). Ну собсно и всё.

beykoney в сообщении #1331829 писал(а):

Если в 1-ом вопросе я полагаю верно, то является ли данная система замкнутой?

Да, но только по горизонтали. Для этого в условии написано, что плоскость абсолютно гладкая.

[beykoney]

wrest в сообщении #1332007 писал(а):

Да, но только по горизонтали. Для этого в условии написано, что плоскость абсолютно гладкая.

Ого. Что-то я и не знал даже, что система может быть замкнутой лишь по одному направлению.
Спасибо.

-- 12.08.2018, 19:26 --

miflin
Могу подробнее написать решение, если хотите.))

[miflin]

Туманно всё как-то... И, боюсь, не совсем корректно. Но не буду копаться в подробностях.
Имхо, лучше было бы так.
Умножаем обе части вашего

$$M\vec V = - m\vec v $$

на $dt$
и интегрируем, подразумевая, что имеем дело с горизонтальными проекциями скоростей (закон сохранения
импульса в проекции на горизонталь).

$$\int\limits_{0}^{t}M\vec Vdt = - \int\limits_{0}^{t}m\vec vdt $$

$$M\vec S = - m\vec s$$

Затем переходим к модулям

$$MS = ms$$

и учитываем, что $S+s=a-b$$

[beykoney]

wrest в сообщении #1332007 писал(а):

Да, но только по горизонтали. Для этого в условии написано, что плоскость абсолютно гладкая.

Значит, wrest, я не смог бы (1-ый мой вопрос наверху) выразить $N$ из уравнения $Oy\colon (m+M) a_y = N - (m+M) g \egno\qquad (3)$, так как система незамкнута по вертикали?

[Eule_A]

beykoney в сообщении #1332008 писал(а):

Что-то я и не знал даже, что система может быть замкнутой лишь по одному направлению.

Сохранение импульса может быть в проекции лишь на определённые оси, а не на любое направление. Или нужно писать второй закон Ньютона, как положено - через импульс. Учитывать действие сил.