2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение11.08.2018, 22:02 
Аватара пользователя


27/07/18
29
Здравствуйте. У меня снова возникла проблема с пониманием некоторых моментов.

На прямоугольный трехгранный клин $ABC$ массы $M$, лежащий на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости, положен подобный же, но меньший клин $BED$ массы $m$. Определить, на какое расстояние $x$ сместится влево большой клин, когда малый клин соскользнет вниз и займет такое положение, что точка $D$ совместится с $C$. Длины катетов $AC$ и $BE$ равны соответственно $a$ и $b$.
Изображение




Ответ: $x = \frac{m}{M+m} (a - b)$.

Если записывать уравнения для центра масс, получается
$$(m+M) \vec a = M \vec g + m \vec g + \vec N \egno\qquad (1)$$
$$Ox\colon (m+M) a_x = 0 \egno\qquad (2)$$
$$Oy\colon (m+M) a_y = N - (m+M) g \egno\qquad (3)$$ где $\vec N$- сила реакции опоры горизонтальной плоскости.
У меня вопросы:
1. Как определить модуль $N$? Не интуитивно ведь полагать его равным $(m+M) g$? Из какого уравнения? Правильно ли я полагаю, что нужно рассмотреть $(3)$, оперевшись на факт, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно, обнулить левую часть и выразить $N$ таким образом?
2. Если в 1-ом вопросе я полагаю верно, то является ли данная система замкнутой? Ведь внешние силы на неё всё-таки действуют (сила тяжести) ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение11.08.2018, 22:08 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Вот так и хочется спросить: и зачем Вам нужно движение центра масс по вертикали?..

И вообще, закон сохранения импульса в помощь. Только здесь нужно аккуратно разбираться: смещение кого относительно чего Вы рассматриваете. Пока всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение11.08.2018, 22:12 
Аватара пользователя


27/07/18
29
Eule_A в сообщении #1331831 писал(а):
И вообще, закон сохранения импульса в помощь. Только здесь нужно аккуратно разбираться: смещение кого относительно чего Вы рассматриваете. Пока всё.

Спасибо. Подумаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение12.08.2018, 17:44 
Аватара пользователя


27/07/18
29
По закону сохранения импульса, если взять за тело отсчёта горизонтальную плоскость, получается $$0= M\vec V + m\vec v$$
$$M\vec V = - m\vec v $$ ?
И я никак не пойму, куда двигаться дальше.

-- 12.08.2018, 18:12 --

А, нет. Решил. Наконец-то. :D
Спасибо, Eule_A , ещё раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение12.08.2018, 18:46 
Аватара пользователя


27/02/12
3707
beykoney в сообщении #1331984 писал(а):
Решил.

Спрошу на всякий случай.
Вы ж это уравнение $0= M\vec V + m\vec v$
умножили не просто на $t$, а на $dt$ и потом проинтегрировали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение12.08.2018, 18:50 
Аватара пользователя


27/07/18
29
miflin в сообщении #1331994 писал(а):
beykoney в сообщении #1331984 писал(а):
Решил.

Спрошу на всякий случай.
Вы ж это уравнение $0= M\vec V + m\vec v$
умножили не просто на $t$, а на $dt$ и потом проинтегрировали?


Я решил без интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение12.08.2018, 18:55 
Аватара пользователя


27/02/12
3707
Как, если не секрет? :-) Вкратце.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение12.08.2018, 18:56 
Аватара пользователя


27/07/18
29
Возможно, это и не совсем прямой ход...
Я здесь $0= M\vec V + m\vec v$ раскрыл $\vec v$ через скорость, которую малый клин приобрёл относительно большого, и скорость самого большого клина. То есть, представил $\vec v$ через векторную сумму двух других скоростей.

Скорее всего, я наделал лишних кругов.
Но я парюсь над этой задачей больше суток, поэтому рад и не самому элегантному решению.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение12.08.2018, 19:01 
Аватара пользователя


27/02/12
3707
Ну, хорошо... А как от скоростей перешли к перемещениям?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение12.08.2018, 19:07 
Аватара пользователя


27/07/18
29
Выразил из закона сохранения импульса $\vec V$ , взял его модуль, чтобы подставить сюда $x=\frac {a t ^2}{2} = \frac {V t} {2}$.

-- 12.08.2018, 19:09 --

У меня появился неизвестный $t ^2$ , который я выразил из уравнения двух выражений вертикального смещения верхнего клина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение12.08.2018, 19:17 


05/09/16
11469
beykoney
А вам надо обязательно написать уравнение движения? Ибо раз малый клин сместился на $a-b$ относительно большого, то и центр масс малого клина сместился вместе с ним на эти же $a-b$ (по горизонтали ессно). Ну собсно и всё.
beykoney в сообщении #1331829 писал(а):
Если в 1-ом вопросе я полагаю верно, то является ли данная система замкнутой?

Да, но только по горизонтали. Для этого в условии написано, что плоскость абсолютно гладкая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение12.08.2018, 19:25 
Аватара пользователя


27/07/18
29
wrest в сообщении #1332007 писал(а):
Да, но только по горизонтали. Для этого в условии написано, что плоскость абсолютно гладкая.

Ого. Что-то я и не знал даже, что система может быть замкнутой лишь по одному направлению. :shock:
Спасибо.

-- 12.08.2018, 19:26 --

miflin
Могу подробнее написать решение, если хотите.))

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение12.08.2018, 19:27 
Аватара пользователя


27/02/12
3707
Туманно всё как-то... И, боюсь, не совсем корректно. Но не буду копаться в подробностях.
Имхо, лучше было бы так.
Умножаем обе части вашего $$M\vec V = - m\vec v $$ на $dt$
и интегрируем, подразумевая, что имеем дело с горизонтальными проекциями скоростей (закон сохранения
импульса в проекции на горизонталь).
$$\int\limits_{0}^{t}M\vec Vdt = - \int\limits_{0}^{t}m\vec vdt $$
$$M\vec S = - m\vec s$$
Затем переходим к модулям
$$MS = ms$$ и учитываем, что $S+s=a-b$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение12.08.2018, 19:33 
Аватара пользователя


27/07/18
29
wrest в сообщении #1332007 писал(а):
Да, но только по горизонтали. Для этого в условии написано, что плоскость абсолютно гладкая.


Значит, wrest, я не смог бы (1-ый мой вопрос наверху) выразить $N$ из уравнения $Oy\colon (m+M) a_y = N - (m+M) g \egno\qquad (3)$, так как система незамкнута по вертикали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё одна Задача по теореме о движении центра масс
Сообщение12.08.2018, 19:39 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
beykoney в сообщении #1332008 писал(а):
Что-то я и не знал даже, что система может быть замкнутой лишь по одному направлению.

Сохранение импульса может быть в проекции лишь на определённые оси, а не на любое направление. Или нужно писать второй закон Ньютона, как положено - через импульс. Учитывать действие сил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group