Проверьте, пожалуйста, доказательство.
Задача:Покажите, что последовательность функций
на отрезке
сходится к нулевой функции поточечно (т.е. при каждом фиксированном
), но не сходится равномерно на отрезке
.
Доказательство:Как я понял, для того чтобы последовательность функций равномерно сходилась к
нужно чтобы для всякого
нашлось натуральное число
такое, что
для всех
. В этой задаче
. Про метрику ничего не сказано, поэтому я возьму метрику такую:
.
Про поточечную сходимость:
Зафиксирую
взяв некоторое
, тогда
действительно сходится. Если взять
, то получаем последовательность
. Устремляю
и раскрываю неопределённость методом Лопиталя:
Сходится к
.
Про равномерную сходимость: опять же воспользуюсь методом Лопиталя:
Но в этом случае я могу варьировать
. Поэтому я выберу такое
, тогда
А последнее выражение в этом случае стремится к бесконечности. Отсюда делаю вывод, что равномерной сходимости нет.